[Darimana Asalnya?] $e^{i\pi}=-1$

Sumber: upload.wikimedia.org

Suatu ketika Michael Atiyah, seorang guru besar matematika dari University of Edinburgh yang sangat terkenal di Inggris, melakukan penelitian bersama Semir Zeki, seorang ahli neurobiologi dari University College London, dan kolaborator lainnya, dengan judul The Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates (Pengalaman akan Keindahan Matematika dan Korelasi Neural-nya <- kira-kira ini terjemahan versi saya, maaf kalo ada salah hehehe :D). Penelitian itu bertujuan untuk meneliti apakah otak dapat merespon keindahan dari matematika dan apakah berada pada bagian dari otak yang sama seperti saat kita merespon keindahan suatu musik, atau puisi atau lukisan. Penelitian ini dilakukan dengan cara menunjukkan beberapa persamaan matematika ketika otak para responden direkam menggunakan MRI (Magnetic Resonance Imaging). Kesimpulannya adalah: ya! Tapi yang menarik dari penelitian ini adalah ada suatu persamaan matematika yang dianggap paling indah oleh beberapa responden, yaitu $$e^{i\pi}=-1$$Mungkin sebagian pembaca bertanya-tanya mengapa persamaan di atas dianggap yang paling indah menurut para responden, termasuk saya sendiri juga menganggapnya demikian. Nah, pada kali ini saya akan menjelaskan mengenai darimana asal-usul dari persamaan di atas.

Pada rumus di atas, terdapat 3 konstanta matematika, yaitu $\pi$ yang merupakan bilangan irasional yang memiliki desimal tidak terbatas, yaitu $\pi=3.1415926...$ lalu $i$ merupakan bilangan imajiner yang memiliki nilai $i=\sqrt{-1}$ dan yang terakhir $e$, disebut juga bilangan Euler, yang merupakan bilangan irasional bernilai $e=2.718281...$. Jadi, bagaimana caranya kombinasi dari ketiga bilangan ini menghasilkan bilangan negatif?

Pertama, kita harus tahu dulu bahwa $$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$Bentuk di atas biasa disebut sebagai deret pangkat dari $e$. Selain itu kita juga perlu tahu bahwa $$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$dan $$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$Pertama, kita tulis deret pangkat dari $e$ sebagai $$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+...$$Dengan mengingat bahwa $i=\sqrt{-1}$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ dan seterusnya, maka deret pangkat di atas bisa diubah menjadi $$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(x)^4}{4!}+...$$dan dengan 'sedikit' mengatur persamaan di atas dapat diperoleh $$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+ix-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!}-...$$atau $$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)$$Perlu diingat bahwa

$$e^{ix}=\underset{\cos{x}}{\underbrace{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}}}+...+i\underset{\sin{x}}{\underbrace{(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)}}$$Sehingga bentuk di atas dapat diubah menjadi $$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$$Selanjutnya dengan mengganti variabel $x$ dengan $\pi$, diperoleh $$e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}$$Ingat bahwa $\pi=180\unicode{xb0}$, sehingga $\cos{\pi}=-1$ dan $\sin{\pi}=0$, sehingga diperoleh $$e^{i\pi}=-1$$Wow, ternyata 'cukup' menggunakan beberapa persamaan untuk membuktikan persamaan yang indah ini :) Oh ya seingat penulis ada cara lain yang dapat dipakai untuk membuktikan persamaan ini, bagi yang tahu silahkan berbagi di bagian komentar. Cukup sekian postingan hari ini, semoga penulis masih punya nyawa untuk menulis hehehe ~_~

Sumber:

1. Michael Atiyah's Imaginative State of Mind - https://www.quantamagazine.org/20160303-michael-atiyahs-mathematical-dreams/

Read More

[Dari mana asalnya?] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$

Bagi yang pernah merasakan 'kejamnya' subjek trigonometri pasti setidaknya pernah melihat salah satu identitas trigonometri paling mudah diingat ini:
$$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$
Namun adakah yang pernah memikirkan dari mana asalnya rumus ini? Mungkin karena kebanyakan mikirin gebetan PR yang banyak atau mantan tidak begitu penting sehingga tidak ada waktu untuk mikirin darimana asalnya identitas trigonometri ini bisa ada :)
Nah, maka dari itu saya akan memberikan penjelasan darimana rumus diatas berasal. Sebelum itu kita ingat dulu definisi dari sinus dan cosinus sebagai perbandingan dari sisi-sisi segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku. Sumber: upload.wikimedia.org

Sinus atau biasa ditulis sebagai $\sin(\alpha)$ merupakan perbandingan antara sisi dihadapan sudut yang disimbolkan dengan $a$, dengan sisi miring atau hipotenusa yang disimbolkan dengan $h$, sehingga
$$\sin(\alpha) = \frac{a}{h}$$
Cosinus atau biasa ditulis sebagai $\cos(\alpha)$ merupakan perbandingan antara sisi disamping sudut yang disimbolkan dengan $b$, dengan sisi miring atau hipotenusa, sehingga:
$$\cos(\alpha)=\frac{b}{h}$$
Sekarang, kita akan buktikan bahwa
$$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$
Jika $\sin(\alpha) = \frac{a}{h}$, maka
$$\sin^2(\alpha) =( \frac{a}{h})^=\frac{a^2}{h^2}$$
sedangkan jika $\cos(\alpha)=\frac{b}{h}$, maka
$$\cos^2(\alpha)=(\frac{b}{h})^2=\frac{b^2}{h^2}$$
sehingga
$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\frac{a^2}{h^2}+\frac{b^2}{h^2}$$
$$=\frac{a^2+b^2}{h^2}$$
Perhatikan segitiga siku-siku diatas! Jika kita masih ingat mengenai rumus Phytagoras, kita dapat mengetahui bahwa
$$h^2=a^2+b^2$$
sehingga
$$\frac{a^2+b^2}{h^2}=\frac{h^2}{h^2}=1$$
Maka dari itu diperoleh:
$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$$

Ternyata tidak sulit untuk membuktikan atau mencari tahu dari mana asalnya identitas trigonometri yang satu ini. Cukup dengan menggunakan definisi dari sinus dan cosinus.
Cukup sampai disini postingan saya, semoga bermanfaat :)

Read More

Jewish Problems

Tanya Khovanova

Sumber: http://www.tanyakhovanova.com/

Jewish Problems adalah judul dari sebuah paper yang ditulis oleh Tanya Khovanova dari MIT dan Alexey Radul dari Hamilton Institute at NUIM. Paper ini berisi kumpulan soal yang digunakan untuk menseleksi para pendaftar departemen matematika di Moscow State University. Soal-soal berikut didesain untuk mencegah kaum Yahudi maupun para applicant yang tidak diinginkan untuk lulus dalam tes. Hebatnya, soal-soal yang sulit tersebut dibuat dengan solusi yang sederhana namun sulit untuk ditemukan. Buat apa membuat soal yag seperti itu? Agar terbebas dari komplain dan protes bagi mereka yang tidak lulus.

Sejarah Jewish Problems
Berdasarkan paper tersebut, berdasarkan sudut pandang/cerita pribadi Tanya Khovanova, bahwa Departemen Matematika di Moscow State University secara aktif mencegah siswa Yahudi (dan siswa-siswa yang tidak diinginkan) untuk bisa belajar di departemen tersebut. Satu metode yang digunakan dalam ujian adalah dengan memberikan soal-soal yang berbeda dengan yang lain pada ujian lisan. Menurut Tanya, soal tersebut didesain dengan solusi elementer (gampangnya, solusinya ‘mudah’ seperti mencari nilai limit dari fungsi yang panjang tapi hasilnya 0) yang sangat sulit untuk diperoleh. Bagi mereka yang tidak bisa menjawab soal tersebut maka otomatis akan dinyatakan tidak lulus, sehingga sistem tersebut sangat efektif dalam mengontrol siswa mana yang diinginkan dan mana yang tidak.
Masalah-masalah tersebut dan solusinya tentu saja dirahasiakan (gak kayak soal UN ya yang bisa disebar-sebar :) ), namun Valera Senderow, gurunya Tanya, dan koleganya dapat mengumpulkan soal-soal menjadi sebuah daftar soal. Pada 1975, mereka bersama dengan 8 siswa Soviet terbaik (termasuk Tanya) mencoba menyelesaikan soal tersebut yang dalam sebulan baru bisa menyelesaikan setengahnya. Mereka mencoba mencari cara bagaimana bisa menyelesaikan soal tersebut agar nantinya bisa diajarkan kepada siswa Yahudi dan siswa lainnya dalam mengerjakan soal tersebut.

Contoh Soal dan Solusinya
Berikut adalah salah satu soal yang termasuk dalam paper tersebut dan solusinya.
Soal 1.
Selesaikan pertidaksamaan berikut untuk $x$ positif:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}.$$
Solusi 1.
Pertama, perhatikan bahwa untuk $x>1$, pertidaksamaan menjadi tidak terdefinisi. Selanjutnya definisikan $y$ dengan
$$y=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}.$$
Perhatikan bahwa untuk suatu nilai $x$ yang diperbolehkan, kita peroleh
$$0\leq y\leq1$$
dan $y$ menurun secara monoton di $x$. Perhatikan juga bahwa
$$x=\frac{1-y^{2}}{1+y{2}}$$.
Berdasarkan syarat-syarat diatas, maka pertidaksamaan dapat dibentuk menjadi:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}$$
$$x(8\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}+1) \leq 11-16\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$
$$\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}(8y+1) \leq 11-16y$$
$$(1-y^{2})(8y+1) \leq (1+y^{2})(11-16y)$$
$$-8y^{3}-y^{2}+8y+1 \leq -16y^{3}+11y^{2}-16y+11$$
$$-8y^{3}+12y^{2}-24y+10 \geq 0$$
$$(2y-1)(-4y^{2}+4y-10) \geq 0$$
Sekarang, $-4y^{2}+4y-10$ selalu negatif, sehingga pertidaksamaan dapat disederhanakan lagi menjadi
$$2y-1 \leq 0.$$
Karena kemonotonan $y$ terhadap $x$ dan fakta bahwa
$$\frac{1-(1/2)^{2}}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5},$$
sehingga jawaban akhirnya adalah
$$\frac{3}{5} \leq x \leq 1.$$
Jujur saja, saya masih surprise bahwa cara menyelesaikan soal berikut adalah dengan mendefinisikan variabel baru dan beberapa sifat seperti monoton turun karena seinget saya saya baru denger kata monoton naik/turun pada mata kuliah kalkulus dan analisis real, wah berarti peradaban matematika di Rusia sangat maju ya saat itu. Saya penasaran apa mereka sudah ngulik teorema limit sejak SMA ya? :)

Masih banyak lagi soal yang terdapat pada paper tersebut. Paper tersebut dapat di download pada link sumber dibawah.
Sumber:
Jewish Problems oleh Tanya Khovanova dan Alexey Radul

Read More

Ujian Saringan Masuk ITB Tahun 1975 Nomor 1

Sumber: pinterest.com

Suatu ketika saya dikasih buku-buku bekas berupa buku soal dan pembahasan oleh ibu kos saya, dari buku soal SMP sampai buku soal ujian saringan masuk universitas. Ketika membuka-buka halaman buku soal dan pembahasan untuk ujian saringan masuk universitas, terdapat soal yang cukup menggelitik saya. Soalnya adalah sebagai berikut:

2+2 adalah …

(1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu

Keterangan: (1), (2) dan seterusnya disini sama seperti pilihan jawaban a, b, dan lainnya.

Nah, lho? Soal apa ini? Biasanya soal untuk masuk universitas tidak ada yang sesederhana ini.

Secara intuitif, kita akan mengartikan kata ‘adalah’ sebagai ‘sama dengan’ atau ‘=’ dan kita akan menjawab jawaban (2) 4, benarkah demikian? Maka dari itu saya melihat bagian solusi dari soal tersebut yang ternyata penjelasannya cukup panjang. Berikut penjelasannya:

Membaca soal nomor 1 ini yang hanya berbunyi 2+2 adalah (1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu, jawaban yang dapat diberikan adalah sebagai berikut:

• Bagi siswa lulusan SLA yang sebagian besar belum mempelajari Matematika Modern, Boolean Algebra, sistem biner, kalkulus, jawaban untuk 2+2 adalah sama dengan 4.
• Dalam soal ini tulisan adalah bisa diartikan sebagai sama dengan, jadi bagi mereka yang memberikan jawaban “tidak tahu” bukanlah semata-mata didasarkan karena di dalam soal tidak dituliskan sama dengan.
• Bagi mereka yang telah banyak belajar matematika jawaban yang paling tepat untuk menjawab soal 2+2, jawaban adalah “tidak tahu”, karena tanda + tidak selalu berarti jumlah, dan di dalam sistem apakah soal tersebut harus dikerjakan.

Kesimpulan (menurut penulis buku):

• Dalam soal ini, 2+2 bisa dijawab “4” atau “tidak tahu”.
• Melihat ketentuan pada petunjuk Umum nomor 6 yaitu hanya ada satu jawaban yang benar, dan melihat pengikut test adalah siswa SLA yang sebagian besar belum memperoleh Matematika Modern, maka jawaban yang paling tepat adalah 2+2 adalah 4
• Setelah melihat/membaca beberapa tulisan pada surat kabar (Kompas) ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian.

Well, ini adalah jawaban yang bagi siapapun akan terdiam sejenak sambil teriak dalam hati “IT’S A TRAP!”. Tapi berdasarkan kesimpulan terakhir bahwa ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian, saya jadi bingung apa berarti jawaban (1) dan (3) bisa jadi benar? Pada sistem yang mana? atau apa memang jawaban (2) dan (4) saja yang benar/dipakai untuk pengelompokan?

Sumber:

Soal-Soal & Pembahasan ITB-SKALU-PP I-SIPENMARU-PTN-UMPTN A1 – A2 Matematika – Fisika – Kimia – Biologi – IPA Terpadu oleh Drs. Komarudin, MA, Epsilon Grup Bandung.

Read More

[Darimana Asalnya?] Rumus Panjang Lintasan Bola

Soal ini cukup populer muncul di soal ujian: Diketahui suatu bola dijatuhkan dari suatu ketinggian $h$ lalu ketinggian bola tersebut menjadi $\frac{a}{b}$ dari ketinggiannya semula. Maka panjang lintasan bola dari posisi awal sampai berhenti memantul.
Jika kita melihat beberapa buku mengenai soal yang sama, maka tanpa banyak penjelasan digunakanlah rumus berikut:
$$ S_{lintasan}=h(\frac{b+a}{b-a}) $$
Pernahkan anda bertanya darimana rumus itu berasal? Apakah rumus itu muncul begitu saja? Tentu saja tidak! Kita harus tahu bahwa dalam matematika, suatu formula diperoleh berdasarkan fakta-fakta atau asumsi-asumsi yang berdasar. Maka dari itu postingan blog berikut akan mencoba menurunkan rumus tersebut berdasarkan asumsi-asumsi atau fakta-fakta terkait masalah tersebut.
Pertama, perhatikan gambar berikut.

Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa terdapat dua lintasan yang ditempuh oleh bola, yaitu lintasan ketika bola bergerak turun dan lintasan ketika bola bergerak naik. Lintasan turun dimulai dari ketika bola ketinggian awal, yaitu $h$ lalu karena ketinggian bola akan menjadi se-$\frac{a}{b}$ dari ketinggian awal maka lintasan turun berikutnya adalah $h (\frac{a}{b})$, selanjutnya menjadi $h (\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak turun dapat dihitung dengan:
$$ S_{turun} = h+h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+…$$
Karena diasumsikan bola akan terus memantul dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ terus menerus, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga $S_{turun}$ dapat dihitung dengan rumus:
$$S_{\infty}=\frac{U_{1}}{1-r}$$
dimana $U_{1}$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio $\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$. Akibatnya
$$S_{turun}=\frac{h}{1-\frac{a}{b}}=\frac{h}{\frac{b-a}{b}}=\frac{hb}{b-a}$$
Sekarang untuk lintasan bola naik, perhatikan bahwa karena bola memantul dengan dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ dari ketinggian semula, maka lintasan bola naik yang pertama adalah $h(\frac{a}{b})$, lalu selanjutnya menjadi $h(\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak naik dapat dihitung dengan:
$$S_{naik}=h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+h(\frac{a}{b})^3+…$$
Dengan asumsi yang sama dengan ketika bola bergerak turun, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga
$$S_{naik}=\frac{h(\frac{a}{b})}{1-\frac{a}{b}}=\frac{\frac{ha}{b}}{\frac{b-a}{b}}=\frac{ha}{b-a}$$
Jadi, panjang keseluruhan lintasan bola dapat dirangkum menjadi
$$L_{lintasan}=L_{naik}+L_{turun}$$
$$=\frac{ha}{b-a}+\frac{hb}{b-a}=\frac{ha+hb}{b-a}=\frac{h(a+b)}{b-a}$$
$$=h(\frac{b+a}{b-a})$$

Read More

Ayo Beralih Ke Open-Textbook!

sumber: http://www.codlrc.org

Bagi mereka yang masih kuliah, baik yang S1 maupun yang S2, pasti pernah merasakan kebingungan dalam hal mencari buku teks yang dibutuhkan dalam mata kuliahnya. Apapun jurusannya, ilmu alam, ilmu sosial, seni maupun sastra akan merasakan sulitnya mencari buku teks. Kalaupun ada, harganya mahal sekali untuk kisaran mahasiswa yang secara finansial kere terbatas. Buku yang berbahasa Indonesia seperti bukunya Howard Anton “Aljabar Linear Elementer” edisi 8, satu jilid-nya saja seharga Rp. 342.000 sudah termasuk pajak. Jika dibeli di “pasar gelap” harganya sekitar Rp. 273.000. Mau tau harga buku impor matematika? Saya pernah ke salah satu toko buku di Bandung yang menjual buku teks impor berjudul “Complex Variables and Applications” karya Brown dan Churchill edisi terbaru dijual seharga kurang lebih Rp. 800.000. Wow, uang bulanan beasiswa saya aja gak nyampe segitu :)

Sebenarnya ada beberapa alternatif yang dapat dilakukan mahasiswa untuk bisa memenuhi kebutuhan buku teksnya, salah satunya adalah tukang fotokopi deket kampus. Saya yakin setiap mahasiswa juga pernah membeli buku fotokopi-an atau mencetak ulang buku yang ada di perpustakaan pusat. Jujur aja saya pun demikian hehehe :v Cukup dimaklumi mengapa kita mau gak mau membeli buku fotokopi-an, karena harganya sangat murah meriah. Kalau bukunya Purcell “Kalkulus” aslinya seharga Rp. 250.000, di tukang fotokopi cukup bayar Rp. 60.000 aja. Tapi konsekuensinya ya kualitasnya tidak sebagus asli, tidak berwarna hanya hitam dan putih seperti hidupmu. Apalagi biasanya dosen mewajibkan kita membeli buku teks full-english seperti buku Introduction to Real Analysis-nya Bartle, mau gak mau daripada beli buku aslinya (emang ada yang jual aslinya?) yang bisa jadi ampe jutaan rupiah, mending beli fotokopian-nya.

Bayangin, udah bukunya full-english, isinya bukan cuman rumus tapi teorema-teorema mind-bending breaking

sumber: http://ecx.images-amazon.com

Bagaimana kalau yang harus dibeli adalah buku-buku ‘langka’? Buku-buku langka yang dimaksud misalnya seperti buku-buku yang dipakai untuk penelitian skripsi. Mau beli online? Boro-boro, kartu kredit aja gak punya :v Kalau punya juga sayang banget beli buku nyaris jutaan cuman dipake pas bikin skripsi doang, setelah selesai cuman jadi pajangan atau dijual, kertasnya dipake buat bungkus bala-bala, kan rugi :v Jadilah kita mencarinya di situs-situs yang memberikan akses gratis ke buku-buku Copyrighted. Ih asik gratis, kenapa gak download aja trus cetak? Selain lebih murah bahkan bagi mereka yang punya tablet segede 7-12 inch mereka bisa baca aja tuh di tabletnya pake aplikasi khusus. Rp.0 modalnya, apalagi download-nya via wifi kampus yang cepetnya luar biasa.

Salah satu buku ‘langka’ yang saya pakai saat mengerjakan skripsi

Sumber: http://www.amazon.com

Sebenarnya, kalau mau lebih rajin nyari via Google kita bisa aja menemukan buku-buku gratis buatan orang-orang yang tulus ingin membantu mahasiswa kere agar bisa memperoleh buku teks yang berkualitas dan gratis bernama Open-Textbook. Apaan tuh Open-Textbook? Menurut analisis saya Wikipedia, Open-Textbook adalah buku teks yang berlisensi terbuka dan disediakan secara online untuk dapat digunakan secara bebas oleh siswa, guru dan publik. Jadi intinya, buku-buku berlisensi terbuka tersebut adalah buku yang dapat digunakan, diadaptasikan dan didistribusikan secara bebas. Buku-buku ini biasanya dapat diunduh secara gratis, atau bahkan di cetak dengan biaya yang sangat minim. Dengan menggunakan buku-buku ini, dijamin lebih varokah etis dibanding kita harus membeli buku fotokopi-an deh :D

Tapi gimana nih soal kualitasnya? Bagus gak? Lengkap gak?

Saya sudah cukup ‘berpengalaman’ dalam hal membaca dan menggunakan buku-buku open-textbook dan sampai saat ini saya tidak pernah kecewa untuk memakainya, bahkan merasa sangat bersyukur bisa menemukannya! Ya, karena beberapa buku open-textbook ada yang berjenis ‘self-contain/self learn’, artinya buku itu sudah didesain untuk dapat dipakai belajar mandiri. Apakah anda pernah membaca buku Schaum’s Outline? Kira-kira 11-12 lah sama buku sakti andalan mahasiswa deadliner tersebut.

Masalah lengkap atau tidak itu relatif, tergantung kebutuhan. Ada open-textbook yang lengkap banget yang tebelnya bisa sampai 500 halaman lebih, ada yang cuman 100 halaman bahkan kurang dari 100. Biasanya yang kurang dari 100 halaman itu lecture notes dari mata kuliah tertentu.
Sebagai gambaran awal mengenai open-textbook, saya akan memberikan 2 open-textbook yang saya pakai sebagai referensi atau untuk belajar mandiri.

A First Course in Linear Algebra, Robert A. Beezer, University of Puget Sound

Lifesavers for a noob in linear algebra

sumber:linear.ups.edu

Buku ini merupakan ‘penyelamat nyawa’ saya ketika harus berhadapan dengan mata kuliah aljabar linear. Pada saat kuliah dulu, aljabar linear adalah mata kuliah yang pertamakali memperkenalkan dunia abstrak-nya matematika kepada mahasiswa baru. Bagi orang seperti saya yang tidak terbiasa dengan dunia abstrak matematika akan cukup sulit untuk mengikuti mata kuliah ini (saat itu saya tidak terbiasa karena selama SMA saya lebih menyenangi fisika dibanding matematika). Penulis buku ini, Robert, sepertinya tidak hanya baik hati karena telah membagikan buku setebal 700-an halaman ini secara gratis, tetapi juga memberikan solution manual alias contekannya sekaligus! Serius, cumpah aq gak oong ini buku bakal menjadi ‘cinta kedua’ setelah bukunya Howard Anton.

Buku diatas dapat didownload di halaman situs berikut: http://linear.ups.edu/download.html

Calculus I,II,III, Paul Dawkins, Lamar University

Salah satu cuplikan dari Calculus II, Paul Dawkins

sumber: Calculus II

Ingin belajar kalkulus tapi males latihan, pengennya ‘disuap’ terus sampai paham tanpa effort buat ngerjain latihan soal? Buku ini dapat menjadi jawaban buat kamu para mahasiswa yang ngerasa otaknya bekerja dengan cara ‘ku lihat-ku baca-ku menang’ atau bagi mereka yang cukup pede dengan muscle memory-nya. Soalnya buku ini banyak banget ngasih contoh pengerjaan soal-soal kalkulus, mulai dari yang sederhana sampai soal yang sulit sekalipun. Sebagai konsekuensinya, buku ini menjadi sangat tebal dan menjadi tidak begitu bersahabat dengan dompet ketika akan di cetak, jadi lebih baik buku ini menjadi buku referensi ketika ada waktu kosong buat membaca materi bukunya.

Buku diatas dapat didownload di halaman situs berikut: http://tutorial.math.lamar.edu/download.aspx

Oh ya mungkin beberapa teman penasaran apakah ada open-textbook buatan dosen-dosen Indonesia? Sebenarnya ada kok, cukup banyak malah. Tapi untuk saat ini saya hanya akan membahas mengenai open-textbook buatan dosen-dosen luar. Mungkin pembaca sekalian ada yang pernah men-download salah satunya? Bagi yang tau link buat mengunduh open-textbook buatan dosen Indonesia dapat di-share di kolom komentar dibawah ini. Rencananya sih saya akan membuat repository khusus untuk mengumpulkan open-textbook agar bagi mereka yang ingin mencari dapat mencarinya dengan gampang melalui blog ini. Semoga tulisan ini dapat membantu dan mencerahkan :)

Read More

[Darimana Asalnya?] Rumus ABC

Belakangan ini saya sering berlatih menurunkan rumus-rumus yang dulunya pernah saya pelajari semasa SMP dan SMA. Selain karena untuk mempertajam ingatan saya dan intuisi saya dalam mengerjakan soal-soal matematika, juga sebagai repository pribadi, jika misalnya ada yang menanyakan “Ini kok rumusnya bisa kayak begini?” atau “Darimana asalnya rumus ini?” saya bisa menjawabnya dengan penuh rasa bangga :v Maka dari itu saya membuat konten khusus yang (semoga saja) membuat saya lebih rajin posting di blog ini. Oh ya semenjak Open Live Writer saya sudah mulai terintegrasi dengan blog saya, sepertinya ini sudah saatnya saya mulai menulis lagi.

Oke kita mulai ^_^!

Siapa yang tidak tahu rumus ABC? Bagi mereka yang belajar di SMP dan SMA pasti akan bertemu dengan rumus ini, terutama ketika belajar tentang persamaan kuadrat. Banyak hal yang membuat rumus ini sangat terkenal, pertama karena rumus ini sangat annoying abis, ribet dan terkesan susah dihapal, kedua karena dibalik kerumitannya ternyata rumus ini sangat efektif dibandingkan dengan metode-metode pemfaktoran yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal persamaan kuadrat.

Rumus ABC disebut sebagai rumus ABC karena biasanya rumus ini ditulis dengan 3 huruf a,b dan c:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a} $$

Bagaimana rumus diatas bisa terbentuk? Apakah dengan mantra mumbo jumbo atau sejenisnya?

Sebenarnya untuk menurunkan rumus ABC diatas cukup dengan cara melengkapkan kuadrat:

$$ x^2+bx+(\frac{1}{2}\times b)^2 = (x+\frac{1}{2}\times b)^2 $$

dan fakta bahwa

$$ x^2=p \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{p} $$

dengan $$x_{1} = +\sqrt{p}$$ dan $$x_{2} = –\sqrt{p} $$

Dengan teknik diatas, akan kita cari rumus ABC.

Pertama, misalkan $ ax^2 +bx+c=0 $ adalah persamaan kuadrat yang akan dicari akar-akarnya. Maka

$$ ax^2 +bx=-c$$

$$ \frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}=\frac{-c}{a} $$

$$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

Sekarang, dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh:

$$x^2 +\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a} +(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2$$

$$(x+\frac{1}{2}\times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}$$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{-4a^2 c+b^2 a}{4a^3}} $$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{a(-4a c+b^2 )}{4a^3}} $$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{1}{2a}\sqrt{-4a c+b^2} $$

atau

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

sehingga diperoleh

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

dengan

$$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

dan

$$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

Demikian tulisan saya mengenai Rumus ABC, semoga bermanfaat ^_^

Read More

Himpunan Konveks dan Museum

Belakangan ini saya lagi asik ngorek-ngorek isi dalam notebook saya tercinta, siapa tau ada duitnya gitu :v wkwkwkwk  Becanda~

Oke, belakangan ini saya rajin merapikan file-file yang ada di notebook saya agar nantinya bisa dipilah-pilih mana yang mesti dibuang dan mana yang bakal saya simpan (dan nantinya tentu akan dibuang jika waktunya tiba). Di sekumpulan 'rimba data' ternyata saya menemukan file berisi desain poster yang dulunya poster itu saya bikin untuk tugas mata kuliah Analisis Real 2 dulu. Lho kok mata kuliah analisis real bikin poster? Buat apa? Saya juga gak ngerti maksudnya apaan, tapi yang saya tangkap dari ide pak dosen yang akhirnya menjadi dosen pembimbing saya ini ingin agar mahasiswa selain hanya sekedar mempelajari materi juga dapat menyampaikan apa yang dipelajarinya dengan cara yang sederhana namun menarik. Ya akhirnya saya ambil temanya mengenai himpunan konveks.

Mengapa himpunan konveks? Ya soalnya menarik aja. Dulu sewaktu saya mengikuti mata kuliah Sistem Geometri, asisten dosen saya pernah bercerita tentang risetnya di bidang geometri komputasional. Saat itu dia menunjukkan salah satu masalah yang terkenal di geometri komputasional adalah Masalah Museum (Museum Problem). Inti dari masalah museum adalah: Bagaimana kita dapat menaruh kamera pengintai secara optimal di ruangan museum? Kedengarannya simpel ya, tapi lihat aja poster di bawah ini. (BTW kelompok saya dapet nilai 100 lho dengan poster ini hehehe ^_^)

atau klik link berikut untuk gambar yang lebih besar.

Read More

Sains Data? Hmmm... Apa itu?

 Sumber: http://lazowska.cs.washington.edu

Belakangan ini saya aktif banget memperhatikan salah satu sains yang berkembang pesat di abad 21 ini, yaitu Sains Data. Nah lho? Sains apaan tuh? Saya sendiri masih belum mengerti dan belum sempat mempelajarinya lebih dalam, soalnya ya karena belakangan ini sibuk banget ngajar jadinya keteteran, dan blog ini juga udah lama banget gak diposting hal-hal baru (dan blog-blog saya yang lainnya, huuu huuu ~_~ ). Oke kembali ke topik semula~

Selain itu saya juga turut aktif di beberapa kegiatan yang sifatnya non-mathematical activity (mungkin sedikit related tapi gak ngeh dimananya hehehe~) seperti mengikuti Konferensi Big Data 2015 yang diadakan di Telkom University beberapa hari yang lalu. Dari sana saya menyadari bahwa ternyata Sains Data ini merupakan ilmu yang "WOW" banget, bahkan Harvard Business School mengatakan bahwa Sains Data adalah pekerjaan paling seksi di abad ini! Wow~ saya jadi ingin mempelajarinya, tapi saya ragu. Mengapa ragu? Jujur saja ternyata Sains Data ini bukan sembarang sains yang hanya cukup dengan kertas, pulpen dan tong sampah (tong sampah buat ngebuang hasil yang salah hehehe...) tapi juga butuh hal-hal lain seperti kemampuan programming seperti SQL, noSQL, R, Phyton, COBOL, dan se-species-species-nya juga dibutuhkan hardware yang mumpuni seperti harddisk berkisar satu terabyte keatas, processor yang mumpuni, dan macem-macem deh.

Tapi ada baiknya anda tidak meyakini apa yang saya tulis di blog ini. Karena saya sendiri masih mengira-ngira apa itu Sains Data dari 'kabar burung' yang beredar selama ini. Ahh semoga saja saya punya banyak waktu untuk mengulasnya di blog ini dan bisa jadi suatu saat nanti malah blog ini akan menjadi blog khusus yang membahas Sains Data, soalnya seksi sih hehehehe...

Read More

Haruskah Mengikuti Buku Teks Rekomendasi dari Dosen?

Bagi siapa pun yang akan/telah merasakan kuliah sebagai mahasiswa matematika, kita pasti pernah membaca yang namanya ‘silabus’, sejenis gambaran mengenai perkuliahan mulai dari jadwal, materi dan tentunya, yang menjadi fokus dalam postingan ini, buku teks yang dijadikan referensi dalam perkuliahan tersebut.

Umumnya, buku teks yang dianjurkan dalam silabus selalu digunakan sewaktu kegiatan belajar-mengajar berlangsung. Namun, sebagaimana pengalaman saya, buku teks yang dianjurkan oleh dosen cenderung high-level, tidak mudah dipelajari, cenderung tidak cocok untuk self-study dan macam-macam hambatan lainnya. Memang sih, tidak dapat dipungkiri bahwa ada beberapa orang yang dapat menguasai buku teks tersebut, bahkan tanpa kerja keras sekalipun! Namun, yahh karena manusia itu unik, termasuk isi otaknya dan bagaimana otaknya dapat menerima dan memproses informasi yang terdapat dalam buku tersebut, tentu saja kita tidak bisa memungkiri bahwa ada sebagian dari kita (termasuk saya) yang memiliki kesulitan dalam mempelajari buku teks tertentu. Dalam hal ini saya akan share beberapa pengalaman saya mengenai buku teks ini.

Siapa yang pernah mempelajari matematika kombinatorik? Atau menyenangi mata kuliah ini, mungkin? Jujur saja, saya benci belajar kombinatorik. Dari pertama kali saya mempelajarinya di SMA (kalo di SMA biasanya dipelajari di Bab Peluang) sampai bertemu kembali di mata kuliah ini. Walaupun sebenarnya mata kuliah kombinatorik ini merupakan mata kuliah pilihan, namun sebenarnya saya terpaksa mengambil mata kuliah ini karena saat semester 7 saya tidak tau harus mencari mata kuliah apa lagi yang bisa saya ambil untuk memenuhi standar SKS dan bisa dikuasai dengan ‘relatif’ mudah. Setelah dipikir matang-matang, akhirnya saya menjatuhkan pilihan saya pada matematika kombinatorik. OK, sekarang saya akan mulai mengapa saya membenci matematika kombinatorik. Ketika mempelajari kombinatorik saat SMA, saya jarang sekali bisa menjawab soal-soal kombinatorik dengan mudah, saya tidak mudah mengerti mana soal yang harus dikerjakan dengan permutasi, mana soal yang harus dikerjakan dengan kombinasi. Ditambah kalau soal kombinatorik itu dicampur dengan materi peluang, beuh… nikmat :’D .

Ketika beranjak tua kuliah, saya berharap bahwa saya tidak akan ketemu lagi materi permutasi, kombinasi beserta cecunguk-cecunguknya. Eh saya ketemu lagi dengan ‘benda’ ini di mata kuliah Statistika Matematika! Fak! Fak! Fak! :’V. Alhasil, saya tidak dapat menguasai mata kuliah tersebut dengan baik. Alhasil saya membenci matematika kombinatorik. Tapi sepertinya memang takdir tidak memihak saya untuk bisa menghindari mata kuliah ini, lagi-lagi saya harus menghadapinya di mata kuliah Matematika Kombinatorik :’D .

Gambar 1. Buku saktinya Mbah Kenneth Haji H. Rosen

Ketika saya mengikuti perkuliahan di subjek Matematika Kombinatorik, saya membaca bagian referensi untuk melihat buku apa yang bisa saya bajak baca untuk menguasai materi ini. Ternyata referensi utamanya adalah bukunya Kenneth Rosen “Discrete Mathematics and Its Applications”. Ketika saya membaca buku tersebut, saya mengalami kesulitan dalam mempelajari materinya, saya tidak mendapat “AHA!”-moment ketika membaca setiap definisi dan teorema dan tidak mudah mengaplikasikan pada soal-soal yang tersedia di buku tersebut. Dengan setiap kesulitan yang saya dapat, mau gak mau saya harus mencari buku alternatif lainnya ~_~

Mencari dan mencari, akhirnya saya menemukan buku yang cocok dan dapat saya pahami, yaitu bukunya Ralph P. Grimaldi berjudul “Discrete and Combinatorial Mathematics – An Applied Introduction”

Gambar 2. My Hero :3

Buku ini ternyata memenuhi semua yang saya butuhkan, yaitu:

• Pertama, buku ini praktis banget, setiap definisi diberikan berserta dengan contoh yang banyak. Setiap pembuktian diberikan dan jelas, selain itu setiap penjelasan di buku ini sangat mudah dipahami oleh saya pribadi, sehingga saya jauh lebih enjoy dalam membacanya;
• Kedua, definisi atau teorema yang dipakai dalam buku ini cenderung ringkas, bersifat gw kasih lo tinggal pake dan mudah diaplikasikan di setiap soal yang ada di buku.
• Ketiga, di buku ini memiliki banyak contoh soal mulai dari yang paling mudah sampai yang jawabannya detail abis (alias panjang lebar sehingga jadi meluas :v) dan setiap contoh dijelaskan dengan sangat detail, sehingga untuk saya yang cenderung mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal secara mandiri dapat memahami dan mengerjakan soal dengan mudah.

dan masih banyak lagi manfaat yang saya peroleh dengan menggunakan referensi lain diluar silabus. Ternyata dengan menggunakan referensi lain, saya bisa menguasai materi yang awalnya sangat saya benci menjadi materi yang saya suka, bahkan saya bisa mendapat nilai yang baik :) . 

Memang kesulitan yang dihadapi biasanya adalah jika ada soal yang harus dikerjakan atau ada PR yang harus dikerjakan di buku referensi utama. Tapi semua itu bisa diatasi jika kita dapat menguasai materinya di buku referensi cadangan.

Read More

Catatan Hati Mahasiswa Matematika Konsentrasi Aljabar

Saya akan sedikit bercerita mengenai diri saya sebagai mahasiswa matematika yang mengambil konsentrasi Aljabar. Sebagai informasi, di prodi saya konsentrasi dibagi menjadi 4, yaitu konsentrasi analisis, aljabar, statistika dan terapan dengan terapan-nya di bidang komputer. Dulu saya sempet bingung mau ambil yang mana dari 4 konsentrasi itu.

Konsentrasi Analisis

Awalnya saya sempet tergoda untuk mengambil konsentrasi analisis, karena kesannya keren gitu, ada kata 'analisis'-nya :D hahahaha. Konsentrasi analisis terkenal sebagai salah satu konsentrasi tersulit yang ada di prodi matematika, apalagi dengan mata kuliah Analisis Real nya yang... sudah dijelaskan dengan kata-kata karena saking sulitnya. Konsentrasi analisis bisa dibilang 'primadona'-nya prodi Matematika. Tapi setelah saya memperhatikan beberapa performa saya di bidang yang berkaitan dengan analisis ini tidak begitu baik, maka saya memutuskan untuk tidak mengambil analisis, apalagi bidang analisis ini terkenal dengan ke-rigor-annya tingkat dewa dan saya bukan orang yang terbiasa melakukan hal-hal rigor seperti mencari nilai delta-epsilon waktu belajar limit, mencari titik limit, dan segala hal yang membuat limit kesabaran saya mendekati 0. Cukup sudah dengan delta-epsilon yang njelimet itu! Maka dari itu saya tidak mengambil konsentrasi analisis.

 Not you again...!!!

Konsentrasi Statistika

Selanjutnya konsentrasi statistika. Bagi sebagian orang mungkin menganggap bahwa konsentrasi statistika itu semacam pelarian dari matematika abstrak level dewa seperti analisis (dan aljabar), namun menurut saya itu dusta! Percaya deh, kalo melihat buku statistika matematika dan membaca isinya, kalian akan paham. Awalnya sih saya ingin mengambil statistika dikarenakan statistika itu adalah bidang yang aplikatif. Ada teori keputusan, analisis regresi dan korelasi, dan statistika multivariat dan juga ekonometrik (masih banyak lagi sub-ilmu dari konsentrasi statistika yang belum saya sebutkan) bisa diterapkan hampir di segala bidang. Apalagi saya juga bekerja paruh-waktu sebagai konsultan statistika, tentunya ini sangat bagus buat saya. Namun, semua itu berubah saat negara api menyerang ketika belajar statistika matematika. Statistika matematika itu ibarat abstraksi-nya dari dari statistika yang pernah kita pelajari di SMA atau mata kuliah statistika dasar. Dan tentunya levelnya jauh lebih tinggi. Bayangin aja, distribusi peluang aja dibagi dua: kontinu dan diskrit, yang diskrit ada 6 sedangkan yang khusus ada 7, masing-masing memiliki ciri khusus dan fungsi tersendiri, dan rumus yang berbeda.

Kelihatannya sederhana, sampai sang dosen memperkenalkan fungsi gamma~

 

Dan juga karena hasil yang saya peroleh di statistika matematika tidak begitu memuaskan, maka saya tidak jadi mengambil konsentrasi ini. 

Konsentrasi Terapan

Sebenarnya konsentrasi ini adalah favorit saya ketika saya mendengar di prodi matematika saya ada konsentrasi terapan. Tapi setelah mendengar bahwa terapannya memfokuskan diri dalam penerapan matematika di komputer saya sedikit kecewa. Pasalnya, di fakultas saya juga ada prodi ilmu komputer dan, menurut saya, daripada mengambil prodi matematika dengan konsentrasi terapan mending ngambil prodi ilmu komputer sedari awal. Tapi pada akhirnya saya salah: lebih baik ngambil terapan. Lha kok berubah pikiran? Hmm gini, beberapa lama sejak kuliah, saya mempelajari tentang automated theorem prover dan model-checking saya jadi tertarik untuk mengembangkannya dan harusnya saya mengambil prodi terapan. Tapi, malah akhirnya saya ngambil aljabar dan ini salah sasaran kalau saya ingin mengembangkan apa yang saya pelajari. Alhasil ya udah terlanjur masuk di Aljabar, mau gimana lagi T_T. Ada hal menarik dengan konsentrasi terapan di prodi saya, yaitu ada matkul yang mempelajari kriptografi! Salah satu hal yang saya minati sejak SMP.

P VS NP adalah masalah yang terkenal di bidang Matematika Terapan Komputer

(sumber: http://thmatters.files.wordpress.com)

Konsentrasi Aljabar

Akhirnya kita akan membicarakan konsentrasi yang saya ikuti sekarang, yaitu konsentrasi Aljabar! Mengambik konsentrasi aljabar awalnya diawali dengan ketika saya mengikuti mata kuliah struktur aljabar I. Saya 'terpana' dengan segala hal yang berkaitan dengan teori grup. Bagaimana kita membangun/membuat suatu sistem/struktur matematika, mempelajari apa itu isomorfisma dan mengapa isomorfisma itu sangat penting dalam struktur matematika. Dalam mata kuliah ini saya berpendapat bahwa aljabar itu adalah ilmu yang sangat universal. Hampir di semua bidang konsentrasi saya yang sebutkan diatas berkaitan dengan aljabar. Tapi salah satu tujuan yang merupakan alasan saya mengambil konsentrasi aljabar adalah karena saya ingin mempelajari landasan matematika. "Nah, lho?" mungkin itu yang ada di benak orang-orang yang mendengar pernyataan ini, baik bagi mereka di luar konsentrasi aljabar maupun didalamnya. Tapi ya memang itu alasannya. Mungkin bagi yang pernah membaca postingan saya yang ini: Teori Pembuktian: Sebuah Kajian Pembuktian dengan Logika, Filsafat, Semantik dan Aljabar, kalian akan tahu bahwa aljabar sangat berkaitan dengan interest saya di bidang Landasan Matematika. Gak cuman Teori Pembuktian, ada Teori Model, Teori Himpunan, Teori Kategori, Teori Rekursi dan bidang landasan matematika lainnya sangat berkaitan dengan aljabar. Tapi apa dikata, setelah masuk konsentrasi Aljabar saya tidak bisa mengembangkan bidang-bidang yang saya minati. Mengapa? Ini berkaitan dengan interest dosen-dosen aljabar yang lebih ke pure algebra dan applied algebra, terutama yang pure algebra seperti aljabar-C*, aljabar graf, teori modul dan lain-lain, walaupun sebenarnya ada juga Teori Kategori yang dibahas di salah satu mata kuliah konsentrasi aljabar yaa.... itu membuat saya senang :D hehehe.

Oh ya, ada satu hal yang perlu diketahui dengan konsentrasi aljabar yaitu yang, menurut kata beberapa orang diluar maupun didalam konsentrasi aljabar,  memiliki tingkat abstraksi yang tinggi! Jauh melebihi level abstraksi-nya konsentrasi analisis, statistika maupun terapan! Objek-objek yang kita pelajari cenderung 'gak jelas bentuknya' tapi 'bertulang' atau strukturnya ada. Ibarat kita sedang ngelihat hantu, bentuknya gak jelas, tapi keliatan, bisa digambarkan (kalo bisa sih) dan bisa dikasifikasikan kalo itu kuntilanak, itu pocong, itu hantu jeruk purut dan lain sebagainya (kok malah ngomongin hantu ya -_-")

Apa ini? Saya juga gak tau ini apa, yang saya tau ini diagram komutatif :v #Plak! #Wadezig!

(sumber: Wikipedia)

Oh ya, walaupun ilmu ini abstraknya 'kelewat batas' ada lho salah satu aplikasi nyatanya. Salah satunya adalah penemuan Bucky Ball yang sangat terkenal di bidang Kimia.

Ini Buckminsterfullerene alias Buckyball

masih banyak lagi terapan aljabar di bidang di luar matematika seperti fisika, biologi bahkan bahasa, mungkin nanti saya akan posting di kesempatan berikutnya.

Read More

Menulis Lagi

Duh, dah lama juga blog ini 'mati suri'. Sudah beberapa bulan blog ini sempat tidak aktif dikarenakan kesibukan baru saya, yaitu mengajar sebagai guru bimbel. Belum lagi saya juga harus sibuk mengurus skripsi sekarang walaupun belum ngontrak buat bimbingan skripsi :D. Selain itu tentunya ada alasan lain mengapa belakangan ini saya sangat malas menulis, yatu ketidakmampuan blog ini untuk menulis menggunakan Latex. Apa itu Latex? Kalian bisa melihat sendiri penjelasannya di wikipedia di sini. 

Kalau kalian melihat beberapa postingan blog ini sebelumnya, kalian tentunya melihat beberapa rumus ditulis seakan-akan menggunakan Latex, padahal sebenarnya itu hanya gambar yang saya generate menggunakan situs Codecoqs's Latex Editor. Hal ini tentunya sangat mengganggu dikarenakan seringkali ketika copy-paste rumus dari Codecoqs selalu menimbulkan masalah baru, seperti susahnya menaruh rumus sebagai inline-text karena memang ketika di-copy paste bentuk file-nya adalah gambar. Maka dari itu kadang ketika membuat satu postingan bisa sampai berjam-jam. Awalnya ini tidak begitu mengganggu saya dulunya, dikarenakan dulu saya memiliki banyak waktu untuk dibuang :D . Tapi sejak memiliki pekerjaan sebagai guru bimbel privat dimana waktu mengajarnya juga sangat padat (kerja dari sore sampai jam 9 malam) dan kadang weekend juga dipakai buat bekerja. Maka segala hal yang berkaitan dengan kegiatan menulis sedikit demi sedikit saya tinggalkan. 

Tapi, rasanya cukup disayangkan jika blog ini tidak diteruskan, karena awalnya blog ini saya buat untuk memperkenalkan bagian dari matematika yang tidak pernah/jarang disentuh di Indonesia, yaitu Landasan Matematika. Selain karena (menurut saya) interest saya ada di bidang ini, juga karena bidang ini sendiri sangat langka di Indonesia. Jadi, naif-nya, saya ingin menjadi orang pertama yang memperkenalkan ilmu ini ke khalayak akademik (masyarakat Indonesia pada umumnya) tentang landasan matematika. Maka dari itu saya harus melanjutkan misi saya untuk menulis. Tapi, saya teringat kembali dengan masalah mengenai ketidakmampuan blogger untuk menulis Latex. Maka dari itu saya mencari solusinya.

Setelah cukup lama googling, akhirnya ketemu juga solusinya di salah satu forum stackexchange.com disini. Salah satu solusi yang ditawarkan adalah dengan menggunakah MathJax, suatu open source JavaScript untuk matematika yang dapat digunakan di setiap browser. Awalnya saya pikir bakal ribet nih mesti inject source code panjang di Edit HTML blogger, namun ternyata cukup simple. 

Untuk menggunakan MathJax, sesuatu petunjuk dari forum tersebut, cukup copy-paste kode berikut:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js">
MathJax.Hub.Config({
 extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
 jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
 tex2jax: {
     inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
     displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
 },
 "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

Berikut gambarnya:

 

di bagian header (<head>) dalam templete Blogger (Design -> Edit HTML -> Edit Template).
 Setelah itu simpan templete tersebut. Dengan begitu sudah deh tinggal pake :D

Bagaimana cara menulis Latex di Blogger? Mudah sekali!

Untuk menulis dengan inline-text cukup tambahkan simbol dollar ($) di awal dan dibagian akhir rumus, seperti:

$\int x dx$ <- tipe inline-text

dengan cara menuliskannya sebagai berikut:

dan untuk tipe Equations cukup dengan tambahkan simbol dollar ($$) di awal dan di bagian akhir rumus, seperti:

$$\int x dx$$ 

dengan cara menuliskannya sebagai berikut:

Cukup mudah kan?

Terus, bagaimana saya menuliskan rumus yang lain selain contoh diatas? Bagaimana saya bisa tau berbagai macam kode Latex? Source-nya banyak kok di Google, salah satunya bisa dilihat di situs MathJax sendiri. Selain itu sebenarnya kita bisa mempelajarinya via Equations di Microsoft Word dengan mempelajari shortcut dalam menuliskan rumus, mungkin kalau sempet saya bahas di blog ini. 

Semoga postingan ini bermanfaat bagi mereka yang ingin menulis blog matematika di blogger :)

Read More

Mengapa Matematika Klasik?

Bagi mereka yang membaca blog ini dari postingan saya yang pertama mereka akan mengetahui bahwa blog ini mengkhususkan diri pada matematika klasik. Mengapa mesti matematika klasik? Bukankah perkembangan matematika begitu pesat? Mengapa harus mengkhususkan diri pada ilmu-ilmu klasik yang ketinggalan zaman?

Pertama saya akan menjelaskan mengapa blog ini mengkhususkan diri pada matematika klasik. Matematika pada awalnya hanya terdiri dari 2 bidang yaitu aritmatika dan geometri. Aritmatika sangat penting dalam melakukan perhitungan terutama dalam sosial seperti jual beli, menghitung pajak, menghitung jumlah ternak, dan lain sebagainya. Geometri yang lebih mengkhususkan diri pada bentuk-bentuk yang umum ditemukan diatas muka bumi juga sangat penting terutama dalam konstruksi bangunan di masa perkembangan ilmu ini. Selanjutnya matematika bercabang menjadi 3 dengan adanya filsafat. Filsafat dalam matematika sangat dipengaruhii oleh perkembangan keilmuan di Yunani dimana logika merupakan salah satu bagian dari filsafat yang sangat penting bagi logika selanjutnya. Maka dari itu, ilmu matematika memiliki 3 dasar yang utama yaitu aritmatika, geometri, dan filsafat matematika atau yang biasa disebut sebagai landasan matematika.

Bagi saya mengetahui dan mempelajari ketiga cabang ini sangat penting karena kita dapat memahami dasar dari matematika itu sendiri. Dengan mengetahui aritmatika kita mengerti prinsip-prinsip seperti induksi matematika, teori bilangan, lalu berlanjut ke kalkulus dan terus berkembang menjadi ilmu-ilmu yang lain. Dari geometri yang awalnya dari geometri Euclid berkembang menjadi geometri Lobachevsky, geometri Birkoff, geometri Hilbert lalu berkembang menjadi geometri yang jauh lebih modern seperti geometri Riemann dan lain sebagainya. Filsafat matematika berkembang dari logika menjadi logika Aristoteles, logika simbolik, logika proposisi dan logika predikat lalu berkembang menjadi logika banyak nilai seperti logika Fuzzy dan masih banyak lagi. Jadi nantinya pembahasan matematika di blog ini berangkat dari klasik ke pendekatan modern. Gabungan dari kedua ilmu pun menjadi menghasilkan bidang yang baru. Aritmatika dan geometri melahirkan aljabar, kalkulus, geometri analitik dan sebagainya. Geometri dan logika menghasilkan langkah-langkah inferensial yang memperkuat pondasi matematika. Aritmatika dan geometri menghasilkan teori himpunan. Gabungan dari ketiga ilmu tersebut menghasilkan matematika yang jauh lebih modern lagi.

Selain alasan diatas, menurut sepengetahuan penulis, masih banyak masalah klasik yang belum terselesaikan sampai sekarang seperti keberadaan balok sempurna (Existence of Perfect Cuboid), konjektur Golbach, keberadaan bilangan sempurna yang ganjil (Existence of odd perfect number), Sphere Packing's Problem,  konjektur bilangan prima kembar (Twin Prime Conjecture) dan lain sebagainya. Maka dari itu tetap beralasan mengapa kita harus mempelajari matematika klasik.

Read More

Video - Reach Success With Mathematics (Menggapai Kesuksesan Bersama Matematika)

Dalam postingan ini saya akan berbagi sebuah video mengenai matematika, yaitu Reach Success With Mathematics. Pada awalnya video ini dibuat dalam rangka acara yang diadakan Himpunan Mahasiswa Matematika 'Identika' UPI. Di video ini saya berusaha menjawab pertanyaan orang-orang (khususnya orang awam) seperti 'Ngapain sih belajar matematika?' atau 'Bakal jadi apa sih tamatan jurusan Matematika?'. Berikut videonya :D

  

Bay de wey buswey, jika misalnya videonya jelek mohon maaf ya, soalnya saya masih nubi soal edit-edit video kayak gini, tapi semoga bermanfaat dan dapat dijadikan pencerahan buat kalian para pembaca blog ini, kan lumayan buat amal jariyah :3

Oh ya kalau misalnya kalian punya saran pembuatan video yang selanjutnya boleh-boleh aja kok, kalau bisa kita saling berbagi ide agar motto dari blog ini terwujud, yaitu:

Memperkuat Pondasi Ilmu Untuk Perkembangan Matematika

Akhir kata, salam matematika :3

Read More

How To Solve It?: Bagaimana Cara Menyelesaikan Masalah Matematika ala Polya

Beberapa waktu yang lalu, saya menemukan buku yang cukup menarik minat saya, yaitu buku "How To Solve It?" yang dikarang oleh George Polya, salah seorang profesor matematika di bidang kombinatorik, teori bilangan, analisis numerik dan teori probabilitas. Dalam buku tersebut, Polya mengulas bagaimana cara membantu siswa dalam menyelesaikan masalah matematika dengan membantu siswa berpikir heuristik. Apa itu berfikir heuristik? Yang dimaksud berpikir heuristik yaitu teknik atau cara berfikir dalam menyelesaikan masalah berdasarkan pengalamannya, dalam bahasa kerennya sih experience-based technique. Proses berpikir heuristik sangat berbeda dengan algoritma di mana hanya dipergunakan sebagai peraturan atau garis pedoman, sedangkan heuristik lebih kepada 'berpikir semau gue sesuka hati' disertai dengan trial-and-error.

Oke, kita lanjut deh mengenai metode Polya dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Dalam metodenya terdapat 4 langkah penyelesaian masalah diantaranya

1. Understanding The Problem (Mengerti permasalahannya)
2. Devising A Plan (Merancang rencana penyelesaian)
3. Carrying Out The Plan (Melaksanakan rencana penyelesaian)
4. Looking Back (Meninjau kembali langkah penyelesaian)

Berikut akan dijelaskan lebih mendetail mengenai tiap langkahnya:

1. Understanding The Problem (Mengerti permasalahannya)

Dalam langkah ini kita harus mengetahui apa saja yang tidak diketahui dalam suatu permasalahan seperti variabel-variabel yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya. Lalu kita juga harus mengetahui data apa saja yang dibutuhkan untuk penyelesaian masalah, misalnya seperti konstanta atau keterangan-keterangan lain yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah. Jangan lupa untuk mengecek kondisi-kondisi yang harus dipenuhi dalam masalah tersebut dan memperkirakan apakah mungkin untuk memenuhi kondisi yang dipersyaratkan untuk memperoleh solusi yang tepat atau tidak memenuhi atau malah terjadi kontradiksi? Kalau memang diperlukan gambarkan permasalahan tersebut, misalnya seperti grafik atau bentuk-bentuk geomerti, dan jangan lupa juga untuk mengetahui notasi-notasi penting didalamnya, seperti L atau A adalah notasi untuk 'luas' atau Sn merupakan notasi untuk jumlah deret, dan lain sebagainya. Setelah itu pisahkan setiap kondisi yang memungkinkan dalam penyelesaian masalah.

2. Devising A Plan (Merancang rencana penyelesaian)

Dalam tahap ini kita diharuskan untuk mencari hubungan antara data yang ada dengan variabel-variabel yang belum diketahui atau yang akan kita cari solusinya. Kalau bisa kita juga diharuskan untuk mengingat kembali apakah masalah seperti ini pernah kita selesaikan sebelumnya atau adakah permasalahan yang mirip/hampir mirip dengan masalah yang sedang kita selesaikan, jika koneksi antara data dan variabel yang ada tidak ditemukan. Selanjutnya kita seharusnya sudah mulai memiliki rencana untuk mencari solusinya. Dalam tahap ini Polya memberi sejumlah detail pertanyaan dan arahan untuk membantu kita dalam merancang rencana penyelesaian, diantaranya:

• Pernahkah masalah seperti ini kita lihat sebelumnya? Atau pernahkah kita melihat permasalahan yang mirip dengan bentuk yang berbeda?
• Apakah kita tahu tentang masalah yang berkaitan dengan yang kita kerjakan? Apakah ada teorema yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah?
• Coba perhatikan pada variabel yang tidak diketahui! Cobalah ingat kembali masalah-masalah yang pernah kita kerjakan/selesaikan yang memiliki variabel yang sama.
• Misalkan kita sudah mengetahui ada masalah yang mirip dengan masalah yang kita kerjakan yang pernah kita selesaikan sebelumnya, dapatkah kita menggunakan solusi yang sama? Dapatkah kita menggunakan metode yang sama? Haruskah kita memperjelas kembali elemen-elemen yang ada agar penggunaanya dapat dimungkinkan?
• Dapatkah kita nyatakan kembali masalah tersebut dalam bentuk yang lebih sederhana? Cobalah kembali kepada definisi-definisi yang kita ketahui. Langka ini disebut juga sebagai restatement.
• Jika kita tidak dapat menyelesaikan masalah yang diberikan, cobalah menyelesaikan terlebih dahulu beberapa masalah yang berkaitan dengan masalah yang kita hadapi sekarang. Dapatkah penyelesaiannya digunakan pada masalah terkait? Atau masalah yang lebih umum? Atau yang lebih khusus? Atau masalah yang ekuivalen? Dapatkah kita menyelesaikan sebagian dari permasalahan terkait?
• Sudahkah kita menggunakan semua data yang kita punya? Apakah kita sudah memenuhi semua kondisi?

3) Carrying Out The Plan (Melaksanakan penyelesaian masalah)

Laksanakanlah langkah penyelesaian yang telah kita rancang sebelumnya untuk memperoleh solusi. Cek setiap langkah yang kita gunakan. Apakah kita sudah yakin langkah-langkah yang digunakan sudah benar? Dapatkah kita membuktikan bahwa langkah-langkah yang kita gunakan merupakan langkah-langkah yang benar?

4) Looking Back (Meninjau kembali langkah penyelesaian)

Periksa solusi yang telah kita peroleh. Dapatkah kita memeriksa hasilnya benar-benar valid? Dapatkah kita memeriksa kembali argumen-argumen yang ada sudah valid? Dapatkah kita menurunkan hasil yang sama dengan cara yang berbeda? Dapatkah kita menggunakan hasil, atau metoda pada masalah yang lain?

Contoh penggunaan metode Polya kira-kira dalam menyelesaikan permasalahan berikut

Hitunglah volume maksimum sebuah kotak tanpa tutup, diketahui bahwa luas permukaannya adalah 48 .

Hal pertama yang kita lakukan adalah Understanding The Problem. Variabel yang tidak kita ketahui disini adalah panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dan volume (V) dari kotak tersebut, sedangkan yang diketahui adalah luas permukaannya (A) yaitu 48 . Yang ingin kita cari adalah berapa nilai volume (V) kotak tanpa tutup tersebut. Syarat yang harus dipenuhi adalah volumenya maksimum. Dari sini kita sudah mendapat keterangan mengenai variabel yang akan tidak diketahui nilainya yaitu: panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dan volume (V), data yang diperlukan yaitu luas permukaannya (A) = 48 dan kondisi yang harus dipenuhi yaitu volumenya maksimum. Sekarang kita dapat melanjutkan ke langkah selanjutnya yaitu Devising A Plan.

Pada langkah ini yang akan kita lakukan adalah mencari hubungan antara variabel yang tidak diketahui dengan data yang ada untuk dicari solusinya. Kita ketahui bahwa umumnya luas permukaan sebarang kotak (gak berarti dalam bentuk kubus lho :3) adalah   dengan A = 48   dan volume kotak tersebut adalah . Tapi kita ketahui dari soal bahwa kotak yang akan kita hitung volumenya adalah kotak tanpa tutup seperti yang dapat kita lihat pada ilustrasi berikut

maka luas permukaan kotak tanpa tutup seharusnya adalah dengan A = 48 dan volumenya . Kira-kira gimana ya caranya menemukan volume kotak tanpa keterangan yang jelas mengenai berapa nilai p, l, dan t? Apakah ada  Sudah pusing, kah? :p. Maka dari itu kita coba kaitkan permasalahan ini dengan permasalahan yang lain. Coba perhatikan apakah ada hubungannya antara dengan ? Bagi beberapa dari mereka yang pernah menempuh mata kuliah kalkulus 1 mereka akan menggunakan aplikasi dari fungsi maksimum dan minimum, tapi bagaimana dengan mereka yang tidak memiliki dasar kalkulus yang cukup? Nah bagaimana kalau kita gunakan aljabar aja, lebih simpel kok :). Salah satu prinsip aljabar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini adalah mengenai hubungan antara rataan aritmartika dengan rataan geometri alias AM-GM! Lho? Kok bisa?! Ciyus?! Miapah?! Hehe, masih ingatkah anda dengan pertanyaan ini

• Pernahkah masalah seperti ini kita lihat sebelumnya? Atau pernahkah kita melihat permasalahan yang mirip dengan bentuk yang berbeda?

Nah, bagi mereka yang cukup familiar dengan  AM-GM (bagi yang belum dapat melihat penjelasan dari om wikipedia yang serba tau disini), mereka dapat melihat bentuk berikut (misalkan x, y, dan z adalah variabel bernilai sebarang)

...(1)

kalau kita misalkan x=pl, y=2lt dan z=2pt maka diperoleh

...(2)

dengan sedikit melakukan manipulasi aljabar diperoleh

...(3)

Dari penguraian sebelumnya diketahui bahwa  sehingga

...(4)

Nah, dapet deh hubungan antara  dengan ! :D Selanjutnya ngapain nih? Setelah kita melihat hubungan diantara variabel-variabel dan data yang diketahui, seharusnya kita sudah mendapat rancangan penyelesaian, maka saatnya masuk ke tahap Carrying Out Plan.

Di tahap Carrying Out Plan kita sudah siap dengan berbagai 'senjata' untuk memenangkan perang menyelesaikan masalah dimulai dari . Dari keterangan sebelumnya kita ketahui bahwa dengan A = 48 sehingga diperoleh

 

 

 

Tadaa~ dapet deh hasilnya ^_^. Sekarang saatnya masuk ke tahap terakhir yaitu Looking Back. Kita akan mencari tahu apakah hasil perhitungan kita benar-benar valid? Nah sekarang kita coba teliti kembali hasil jawaban kita. Kita mengetahui dari tahap sebelumnya bahwa volume sebarang kotak yaitu , nah untuk membuktikan bahwa hasil yang kita dapat valid, kita harus menemukan nilai dari p, l, dan t. Cara mencarinya sangat gampang. Pertama, kita harus mengetahui salah satu prinsip ini: Volume mencapai maksimum dimana terjadi kesamaan, dalam arti pl = 2lt = 2pt. Perhatikan 2lt = 2pt => l = p sehingga diperoleh

 

 

 

 

diperoleh p = l = 4

akan dicari untuk z. Perhatikan pl = 2lt => p = 2t sehingga diperoleh

diperoleh t = 2. Dari hasil p, l, dan t diperoleh bahwa volumenya adalah

terbukti deh :D.

Jadi, metode problem solving ala Polya menurut saya cukup efektif dalam menyelesaikan permasalah matematika, baik yang sederhana maupun rumit. Baiklah demikian postingan ini, semoga bermanfaat. Bagi yang mau berkomentar, monggo~ ^_^

Read More