 |
| Sumber: upload.wikimedia.org |
Suatu ketika Michael Atiyah, seorang guru besar matematika dari University of Edinburgh yang sangat terkenal di Inggris, melakukan penelitian bersama Semir Zeki, seorang ahli neurobiologi dari University College London, dan kolaborator lainnya, dengan judul The Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates (Pengalaman akan Keindahan Matematika dan Korelasi Neural-nya <- kira-kira ini terjemahan versi saya, maaf kalo ada salah hehehe :D). Penelitian itu bertujuan untuk meneliti apakah otak dapat merespon keindahan dari matematika dan apakah berada pada bagian dari otak yang sama seperti saat kita merespon keindahan suatu musik, atau puisi atau lukisan. Penelitian ini dilakukan dengan cara menunjukkan beberapa persamaan matematika ketika otak para responden direkam menggunakan MRI (Magnetic Resonance Imaging). Kesimpulannya adalah: ya! Tapi yang menarik dari penelitian ini adalah ada suatu persamaan matematika yang dianggap paling indah oleh beberapa responden, yaitu $$e^{i\pi}=-1$$Mungkin sebagian pembaca bertanya-tanya mengapa persamaan di atas dianggap yang paling indah menurut para responden, termasuk saya sendiri juga menganggapnya demikian. Nah, pada kali ini saya akan menjelaskan mengenai darimana asal-usul dari persamaan di atas.
Pada rumus di atas, terdapat 3 konstanta matematika, yaitu $\pi$ yang merupakan bilangan irasional yang memiliki desimal tidak terbatas, yaitu $\pi=3.1415926...$ lalu $i$ merupakan bilangan imajiner yang memiliki nilai $i=\sqrt{-1}$ dan yang terakhir $e$, disebut juga bilangan Euler, yang merupakan bilangan irasional bernilai $e=2.718281...$. Jadi, bagaimana caranya kombinasi dari ketiga bilangan ini menghasilkan bilangan negatif?
Pertama, kita harus tahu dulu bahwa $$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$Bentuk di atas biasa disebut sebagai deret pangkat dari $e$. Selain itu kita juga perlu tahu bahwa $$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$dan $$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$Pertama, kita tulis deret pangkat dari $e$ sebagai $$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+...$$Dengan mengingat bahwa $i=\sqrt{-1}$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ dan seterusnya, maka deret pangkat di atas bisa diubah menjadi $$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(x)^4}{4!}+...$$dan dengan 'sedikit' mengatur persamaan di atas dapat diperoleh $$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+ix-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!}-...$$atau $$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)$$Perlu diingat bahwa
$$e^{ix}=\underset{\cos{x}}{\underbrace{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}}}+...+i\underset{\sin{x}}{\underbrace{(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)}}$$Sehingga bentuk di atas dapat diubah menjadi $$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$$Selanjutnya dengan mengganti variabel $x$ dengan $\pi$, diperoleh $$e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}$$Ingat bahwa $\pi=180\unicode{xb0}$, sehingga $\cos{\pi}=-1$ dan $\sin{\pi}=0$, sehingga diperoleh $$e^{i\pi}=-1$$Wow, ternyata 'cukup' menggunakan beberapa persamaan untuk membuktikan persamaan yang indah ini :) Oh ya seingat penulis ada cara lain yang dapat dipakai untuk membuktikan persamaan ini, bagi yang tahu silahkan berbagi di bagian komentar. Cukup sekian postingan hari ini, semoga penulis masih punya nyawa untuk menulis hehehe ~_~
Sumber:
- Michael Atiyah's Imaginative State of Mind - https://www.quantamagazine.org/20160303-michael-atiyahs-mathematical-dreams/
