Induksi Matematika

 

Sumber gambar: almayciudad.blogspot.com

Induksi Matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan bulat positif (bilangan asli). Induksi matematika dilakukan dengan 2 tahap. Tahap pertama adalah kasus dasar, yaitu bertujuan untuk membuktikan pernyataan yang diberikan untuk bilangan asli terkecil dalam himpunannya. Langkah kedua adalah langkah induksi, yaitu untuk membuktikan bahwa pernyataan yang diberikan bernilai benar untuk bilangan bulat positif selanjutnya (bilangan asli). Berdasarkan 2 langkah ini, induksi matematika adalah aturan yang mana untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif. Ada beberapa prinsip dan teorema yang dipakai dalam induksi matematika, diantaranya:

Prinsip Terurut-Sempurna (Well-Ordering Principle)
Setiap himpunan bilangan bulat positifS yang tidak kosong selalu memiliki unsur terkecil, yaitu:

 

Teorema Sifat Archimedes

Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat positif, maka terdapat sebuah bilangan bulat n sedemikian sehingga

Prinsip Induksi Hingga Pertama (First Principle of Finite Induction)

Misalkan S adalah himpunan bilangan positif yang memenuhi sifat-sifat berikut:

1.  
2.  

jadi S adalah himpunan semua bilangan bulat positif.

Prinsip Induksi Hingga Kedua (Second Principle of Finite Induction)
Pada dasarnya prinsip kedua tidak jauh berbeda, hanya pada aturan kedua diubah sedikit menjadi:
Jika k adalah bilangan sedemikian sehingga 1, 2, 3, ..., k anggota S, maka k+1 juga anggota S.

Berikut merupakan contoh dari pembuktian dengan induksi matematika.
Buktikan bahwa
Jawab:
Untuk akan dibuktikan:

1. Untuk n = 1, maka   benar.
2. Misalkan  n = k, sedemikian sehingga benar, maka akan dibuktikan untuk n = k+1 benar.

 

Perhatikan bahwa  , maka

 

  

adalah benar untuk n = k+1

Kesimpulan: Pernyataan adalah benar.