Mengapa Logika Formal?

Sumber: http://home.sandiego.edu

Apa bedanya ketika kita lebih sering menulis dibanding “dan”, atau menulis dibanding “ada beberapa/ada”? Beberapa simbol tersebut mungkin jarang digunakan di cabang matematika, misalnya pada jurnal ilmiah mengenai persamaan diferensial.

Salah satu alasannya adalah jika kita tertarik dengan logika yang berkerja pada suatu bentuk matematis. Misalnya seperti

mungkin terlihat jauh lebih sulit. Tetapi, tapi menggunakan bentuk simbolik seperti ini suatu bentuk matematis akan lebih sulit untuk dianalisa.

Walaupun tidak semua matematikawan tidak ingin menjadi ahli logika, mereka tetap akan membutuhkan suatu bentuk simbolik dari suatu pernyataan matematis. Sifat dasar dari suatu simbol seperti perbedaan antara dengan akan lebih mudah dimengerti ketika dinyatakan dalam bentuk simbolik.

Selain itu, walaupun bentuk simboliknya tidak ditunjukkan secara eksplisit atau terang-terangan seperti contoh diatas, penekanan konsepnya implisit dalam definisi yang berbeda. Misalnya, ekspresi matematis

mungkin muncul didalam beberapa textbook di kalkulus, analisis real atau persamaan diferensial. Salah satu cara mendefinisikan limit supremum diatas adalah sebagai berikut: Untuk bilangan r mengikuti suatu sifat berikut:

Biasanya para matematikawan umumnya berfikir mengenai limit supremum seperti bentuk simbolik diatas daripada hanya sekedar mengikuti definisi tertulis, tapi mereka tetap harus mempelajari definisinya secara penuh daripada hanya dalam bentuk kata-kata atau simbolik.

Jadi, alasannya mengapa kita butuh mempelajari logika formal adalah:

• Untuk mempermudah pendefinisian;
• Untuk mempermudah dalam hal menganalisa bentuk matematis suatu definisi;
• Untuk mempersingkat penulisan definisi;
• dan lain-lain.

Sebenarnya masih banyak  alasan mengapa logika formal dibutuhkan dalam matematika terutama.

Fakta mengenai pentingnya logika formal:

Anda tahu mengenai Teorema 4 warna? Yaitu suatu teorema dalam teori graf yang menjelaskan bahwa semua peta dapat diwarnai kurang dari atau sama dengan 4 warna. Teorema ini dibuktikan oleh Kenneth Apple dan Wolfgang Hakel pada tahun 1987. Namun, pembuktian teorema ini menyebabkan kontroversi karena pembuktian yang digunakan adalah metode pembuktian proof by case atau pembuktian dengan menggunakan contoh dengan menggunakan komputer. Baru pada tahun 2005 teorema ini sepenuhnya terbukti dengan menggunakan logika formal dengan bantuan komputer.