Model dan Pemodelan Matematika

Model matematika secara kasar didefinisikan sebagai penggambaran fenomena dunia nyata melalui bahasa/simbol matematis. Sedangkan pemodelan adalah kegiatan membuat model matematika berdasarkan fenomena nyata. Kalau merujuk pada perkataan Frank R. Giordano dkk pada bukunya yang berjudul A First Course in Mathematical Modeling: “Model matematika adalah idealisasi dari fenomena dunia nyata dan tidak pernah menjadi representasi yang lengkap sempurna”. Hal ini dapat dimengerti karena terkadang terlalu banyak variabel yang dapat berlaku pada suatu peristiwa.

Sebagai contoh misalnya gerakan bandul. Secara sederhana gerakan bandul dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Tapi, bagaimana kalau dada pengaruh lain misalnya gaya magnet di sekitar bandul (misalnya bandul terbuat dari besi) dapat mempengaruhi gerakan bandul tersebut? Atau bagaimana jika ketika bandul bergerak, gerakannya dipengaruhi oleh lingkungan di sekitarnya? Bagaimana pula jika misalnya efek coriolis bumi dapat mempengaruhi gerakan bandul? Yang lebih ekstrim lagi: Bagaimana kalau kepadakan sayap burung di Amerika Serikat dapat mempengaruhi gerakan bandul?

Walaupun tidak ada satupun model matematika yang dapat merepresentatikan keadaan dunia nyata secara sempurna, tapi model matematika yang baik dapat memberi penjelasan yang bernilai dan menghasilkan suatu kesimpulan yang setidaknya dapat menggambarkan dunia nyata sebagai mungkin. Kira-kira bagaimana pemodelan matematika dapat memperoleh gambaran matematis dari suatu fenomena?

Siklus Pemodelan Matematika

Perhatikan siklus dibawah ini:

Gambar: Siklus pemodelan matematika, dimulai dari data dari fenomena nyata

Sumber: A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk

Dari siklus diatas dapat dilihat bahwa pemodelan matematika dimulai dari fakta-fakta fenomena yang teramati, lalu melalui proses simplifikasi masuk ke tahap Model. Di tahap Model kita mencoba menerjemahkan fenomena tersebut ke dalam bentuk matematis. Setelah model matematika dibentuk, model tersebut masuk dalam proses analisis sehingga diperoleh Kesimpulan matematis. Kesimpulan matematis adalah produk jadi dari analisa ktia terhadap model yang telah dibuat yang nantinya akan masuk ke tahap Prediksi melalui proses interpretasi terhadap Kesimpulan matematis. Dari sini kita tentunya akan menguji apakah hasil yang kita peroleh sesuai dan mengikuti (atau setidaknya mendekati) fakta fenomena yang diamati sebelumnya melalui proses verifikasi. Apabila model tersebut belum bisa menggambarkan fenomena dunia nyata secara akurat (setidaknya dengan rentang kesalahan yang minim) maka proses akan diulang dari proses simplifikasi kembali. Atau pun kalau model yang dibuat sudah sesuai, maka model tersebut dapat menjadi model yang lebih sempurna dengan mengikuti alur siklus pemodelan ini.

Tujuan dan Manfaat Pemodelan Matematika

Ada beberapa manfaat yang diperoleh dengan menyederhanakan fenomena dunia nyata menjadi model matematika. Berdasarkan Lecture Note An Introduction to Mathematical Modeling oleh Gleen Marion, contoh manfaatnya adalah:

1. Karena matematika adalah bahasa yang sangat presisi, hal ini dapat memudahkan kita dalam merumuskan ide-ide dan mengidentifikasi asumsi-asumsi yang mendasari fenomena tersebut.
2. Karena matematika bahasa yang ringkas, dengan aturan-aturan yang terdefinisi dengan baik untuk melakukan manipulasi.
3. Semua hasil yang diperoleh matematikawan yang teruji ratusan tahun dapat digunakan.
4. Komputer dapat melakukan melakukan kalkulasi numerik.

Selain itu terdapat beberapa tujuan yang dapat diraih dalam membentuk model matematika, misalnya:

1. Membangun pemahaman saintifik
2. Menguji efek-efek perubahan dalam suatu sistem
3. Sebagai alat bantu dalam membuat keputusan

Sampai disini penjelasan mengenai model matematika. Di lain kesempatan saya akan memberi penjelasan mengenai klasifikasi model matematika dan contoh dari pemodelan matematika.

Sumber:

• An Introduction to Mathematical Modeling oleh Glenn Marion
• A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk