Apa itu Landasan Matematika?

Matematika ibarat sebuah bangunan bertingkat. Dia punya pondasi, rangka, lantai yang bertingkat, dan unsur-unsur lain yang melekat padanya. Secara struktural bangunan itu hanya dapat dipertanggungjawabkan keberadaannya sebagai bangunan apabila dibangun di atas pondasi atau landasan yang kuat. Dengan demikian, bangunan ini akan tetap kokoh dari masa ke masa meskipun diterpa badai dan taufan. Dalam matematika, landasan berfungsi untuk memperkokoh, menyokong atau menopang bangunan matematika. Selain itu landasan matematika juga sebagai sarana yang diperlukan untuk 'merenovasi' bangunan matematika itu sendiri. Dalam landasan matematika kita akan memfokuskan diri pada 2 unsur pokok, yaitu Logika Matematika (atau yang biasa disebut Symbolic Logic) dan Teori Himpunan (Set Theory).

Logika pada dasarnya adalah ilmu yang mempelajari dan merumuskan secara sistematis kaidah-kaidah yang mengatur bagaimana manusia bernalar secara benar. Yang dimaksud dengan penalaran sendiri yaitu penarikan kesimpulan dari sekumpulan pernyataan yang diberikan atau yang biasa kita sebut sebagai premis. Dalam logika, suatu penalaran yang sah hanya dapat dianggap valid jika premis-premisnya benar sehingga memperoleh kesimpulan yang benar. Maka dari itu logika matematika adalah ilmu yang mempelajari dan merumuskan secara sistematis kaidah-kaidah matematika. Mengapa logika matematika disebut juga sebagai logika simbolik? Karena dalam logika matematika kita menggambarkan suatu pernyataan dan relasi antar pernyataan dengan simbol. Misalkan pernyataan '1 adalah bilangan asli' disimbolkan dengan P lalu pernyataan '1 adalah bilangan bulat' disimbolkan dengan Q, apabila antara kedua pernyataan dihubungkan/direlasikan dengan kata 'atau' maka diperoleh suatu hubungan antar pernyataan '1 bilangan asli atau 1 bilangan bulat' yang secara simbolik dapat ditulis . Pembahasan lebih lanjut mengenai logika matematika akan disampaikan pada postingan selanjutnya.

Selain logika sebagai salah satu pondasi matematika ada juga Teori Himpunan. Teori Himpunan adalah ilmu yang mempelajari mengenai sekumpulan objek, khususnya objek matematis, yang terdefinisi jelas. Apa yang dimaksud dengan terdefinisi dengan jelas? Maksudnya objek itu memiliki sifat yang jelas. Misalnya himpunan bilangan ganjil, bilangan ganjil terdefinsi dengan jelas karena memiliki sifat yang jelas, yaitu bilangan ganjil (selalu) dalam bentuk 2n+1, atau himpunan bilangan prima memiliki sifat yang jelas yaitu bilangannya memiliki faktor 1 dan bilangan itu sendiri. Teori himpunan memiliki andil yang sangat besar dalam perkembangan matematika, misalnya dalam mendefinisikan cabang matematika lain seperti teori bilangan, teori grup, geometri dan bahkan membantu ilmu-ilmu diluar matematika seperti fisika dalam fisika teorinya, biologi dengan sistem taksonominya dan lain sebagainya. Pembahasan lebih lanjut mengenai teori himpunan juga akan dijelaskan dalam postingan selanjutnya untuk pembahasan lebih mendalam.

Ilmu logika dan teori himpunan adalah ilmu-ilmu klasik yang menjadi dasar bagi ilmu-ilmu lainnya, seperti sebuah pondasi dalam sebuah bangunan dan ilmu-ilmu lainnya seperti bangunan yang dibangun diatas pondasi ini. Meskipun andil kedua ilmu ini sangat besar, anehnya di Indonesia pembahasan mengenai 2 ilmu ini tidak begitu mendalam. Jarang sekali ada textbook yang mengulas 2 ilmu ini secara lebih mendalam. Padahal dengan memperdalam logika dan teori himpunan kita dapat memperkuat teori-teori baru bahkan membuat sendiri teori baru itu. Maka dari itu blog ini saya buat untuk memperkenalkan landasan matematika (Foundation of Mathematics) dan ilmu-ilmu klasik lainnya dengan harapan di Indonesia setidaknya ada yang berminat menjadi ilmuwan matematika klasik seperti Lotfi A. Zadeh (pengembang logika fuzzy) dan Ernst Zermelo (pengembang teori himpunan ZFC).