How To Solve It?: Bagaimana Cara Menyelesaikan Masalah Matematika ala Polya

Beberapa waktu yang lalu, saya menemukan buku yang cukup menarik minat saya, yaitu buku "How To Solve It?" yang dikarang oleh George Polya, salah seorang profesor matematika di bidang kombinatorik, teori bilangan, analisis numerik dan teori probabilitas. Dalam buku tersebut, Polya mengulas bagaimana cara membantu siswa dalam menyelesaikan masalah matematika dengan membantu siswa berpikir heuristik. Apa itu berfikir heuristik? Yang dimaksud berpikir heuristik yaitu teknik atau cara berfikir dalam menyelesaikan masalah berdasarkan pengalamannya, dalam bahasa kerennya sih experience-based technique. Proses berpikir heuristik sangat berbeda dengan algoritma di mana hanya dipergunakan sebagai peraturan atau garis pedoman, sedangkan heuristik lebih kepada 'berpikir semau gue sesuka hati' disertai dengan trial-and-error.

Oke, kita lanjut deh mengenai metode Polya dalam menyelesaikan permasalahan matematika. Dalam metodenya terdapat 4 langkah penyelesaian masalah diantaranya

1. Understanding The Problem (Mengerti permasalahannya)
2. Devising A Plan (Merancang rencana penyelesaian)
3. Carrying Out The Plan (Melaksanakan rencana penyelesaian)
4. Looking Back (Meninjau kembali langkah penyelesaian)

Berikut akan dijelaskan lebih mendetail mengenai tiap langkahnya:

1. Understanding The Problem (Mengerti permasalahannya)

Dalam langkah ini kita harus mengetahui apa saja yang tidak diketahui dalam suatu permasalahan seperti variabel-variabel yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya. Lalu kita juga harus mengetahui data apa saja yang dibutuhkan untuk penyelesaian masalah, misalnya seperti konstanta atau keterangan-keterangan lain yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah. Jangan lupa untuk mengecek kondisi-kondisi yang harus dipenuhi dalam masalah tersebut dan memperkirakan apakah mungkin untuk memenuhi kondisi yang dipersyaratkan untuk memperoleh solusi yang tepat atau tidak memenuhi atau malah terjadi kontradiksi? Kalau memang diperlukan gambarkan permasalahan tersebut, misalnya seperti grafik atau bentuk-bentuk geomerti, dan jangan lupa juga untuk mengetahui notasi-notasi penting didalamnya, seperti L atau A adalah notasi untuk 'luas' atau Sn merupakan notasi untuk jumlah deret, dan lain sebagainya. Setelah itu pisahkan setiap kondisi yang memungkinkan dalam penyelesaian masalah.

2. Devising A Plan (Merancang rencana penyelesaian)

Dalam tahap ini kita diharuskan untuk mencari hubungan antara data yang ada dengan variabel-variabel yang belum diketahui atau yang akan kita cari solusinya. Kalau bisa kita juga diharuskan untuk mengingat kembali apakah masalah seperti ini pernah kita selesaikan sebelumnya atau adakah permasalahan yang mirip/hampir mirip dengan masalah yang sedang kita selesaikan, jika koneksi antara data dan variabel yang ada tidak ditemukan. Selanjutnya kita seharusnya sudah mulai memiliki rencana untuk mencari solusinya. Dalam tahap ini Polya memberi sejumlah detail pertanyaan dan arahan untuk membantu kita dalam merancang rencana penyelesaian, diantaranya:

• Pernahkah masalah seperti ini kita lihat sebelumnya? Atau pernahkah kita melihat permasalahan yang mirip dengan bentuk yang berbeda?
• Apakah kita tahu tentang masalah yang berkaitan dengan yang kita kerjakan? Apakah ada teorema yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah?
• Coba perhatikan pada variabel yang tidak diketahui! Cobalah ingat kembali masalah-masalah yang pernah kita kerjakan/selesaikan yang memiliki variabel yang sama.
• Misalkan kita sudah mengetahui ada masalah yang mirip dengan masalah yang kita kerjakan yang pernah kita selesaikan sebelumnya, dapatkah kita menggunakan solusi yang sama? Dapatkah kita menggunakan metode yang sama? Haruskah kita memperjelas kembali elemen-elemen yang ada agar penggunaanya dapat dimungkinkan?
• Dapatkah kita nyatakan kembali masalah tersebut dalam bentuk yang lebih sederhana? Cobalah kembali kepada definisi-definisi yang kita ketahui. Langka ini disebut juga sebagai restatement.
• Jika kita tidak dapat menyelesaikan masalah yang diberikan, cobalah menyelesaikan terlebih dahulu beberapa masalah yang berkaitan dengan masalah yang kita hadapi sekarang. Dapatkah penyelesaiannya digunakan pada masalah terkait? Atau masalah yang lebih umum? Atau yang lebih khusus? Atau masalah yang ekuivalen? Dapatkah kita menyelesaikan sebagian dari permasalahan terkait?
• Sudahkah kita menggunakan semua data yang kita punya? Apakah kita sudah memenuhi semua kondisi?

3) Carrying Out The Plan (Melaksanakan penyelesaian masalah)

Laksanakanlah langkah penyelesaian yang telah kita rancang sebelumnya untuk memperoleh solusi. Cek setiap langkah yang kita gunakan. Apakah kita sudah yakin langkah-langkah yang digunakan sudah benar? Dapatkah kita membuktikan bahwa langkah-langkah yang kita gunakan merupakan langkah-langkah yang benar?

4) Looking Back (Meninjau kembali langkah penyelesaian)

Periksa solusi yang telah kita peroleh. Dapatkah kita memeriksa hasilnya benar-benar valid? Dapatkah kita memeriksa kembali argumen-argumen yang ada sudah valid? Dapatkah kita menurunkan hasil yang sama dengan cara yang berbeda? Dapatkah kita menggunakan hasil, atau metoda pada masalah yang lain?

Contoh penggunaan metode Polya kira-kira dalam menyelesaikan permasalahan berikut

Hitunglah volume maksimum sebuah kotak tanpa tutup, diketahui bahwa luas permukaannya adalah 48 .

Hal pertama yang kita lakukan adalah Understanding The Problem. Variabel yang tidak kita ketahui disini adalah panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dan volume (V) dari kotak tersebut, sedangkan yang diketahui adalah luas permukaannya (A) yaitu 48 . Yang ingin kita cari adalah berapa nilai volume (V) kotak tanpa tutup tersebut. Syarat yang harus dipenuhi adalah volumenya maksimum. Dari sini kita sudah mendapat keterangan mengenai variabel yang akan tidak diketahui nilainya yaitu: panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dan volume (V), data yang diperlukan yaitu luas permukaannya (A) = 48 dan kondisi yang harus dipenuhi yaitu volumenya maksimum. Sekarang kita dapat melanjutkan ke langkah selanjutnya yaitu Devising A Plan.

Pada langkah ini yang akan kita lakukan adalah mencari hubungan antara variabel yang tidak diketahui dengan data yang ada untuk dicari solusinya. Kita ketahui bahwa umumnya luas permukaan sebarang kotak (gak berarti dalam bentuk kubus lho :3) adalah   dengan A = 48   dan volume kotak tersebut adalah . Tapi kita ketahui dari soal bahwa kotak yang akan kita hitung volumenya adalah kotak tanpa tutup seperti yang dapat kita lihat pada ilustrasi berikut

maka luas permukaan kotak tanpa tutup seharusnya adalah dengan A = 48 dan volumenya . Kira-kira gimana ya caranya menemukan volume kotak tanpa keterangan yang jelas mengenai berapa nilai p, l, dan t? Apakah ada  Sudah pusing, kah? :p. Maka dari itu kita coba kaitkan permasalahan ini dengan permasalahan yang lain. Coba perhatikan apakah ada hubungannya antara dengan ? Bagi beberapa dari mereka yang pernah menempuh mata kuliah kalkulus 1 mereka akan menggunakan aplikasi dari fungsi maksimum dan minimum, tapi bagaimana dengan mereka yang tidak memiliki dasar kalkulus yang cukup? Nah bagaimana kalau kita gunakan aljabar aja, lebih simpel kok :). Salah satu prinsip aljabar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini adalah mengenai hubungan antara rataan aritmartika dengan rataan geometri alias AM-GM! Lho? Kok bisa?! Ciyus?! Miapah?! Hehe, masih ingatkah anda dengan pertanyaan ini

• Pernahkah masalah seperti ini kita lihat sebelumnya? Atau pernahkah kita melihat permasalahan yang mirip dengan bentuk yang berbeda?

Nah, bagi mereka yang cukup familiar dengan  AM-GM (bagi yang belum dapat melihat penjelasan dari om wikipedia yang serba tau disini), mereka dapat melihat bentuk berikut (misalkan x, y, dan z adalah variabel bernilai sebarang)

...(1)

kalau kita misalkan x=pl, y=2lt dan z=2pt maka diperoleh

...(2)

dengan sedikit melakukan manipulasi aljabar diperoleh

...(3)

Dari penguraian sebelumnya diketahui bahwa  sehingga

...(4)

Nah, dapet deh hubungan antara  dengan ! :D Selanjutnya ngapain nih? Setelah kita melihat hubungan diantara variabel-variabel dan data yang diketahui, seharusnya kita sudah mendapat rancangan penyelesaian, maka saatnya masuk ke tahap Carrying Out Plan.

Di tahap Carrying Out Plan kita sudah siap dengan berbagai 'senjata' untuk memenangkan perang menyelesaikan masalah dimulai dari . Dari keterangan sebelumnya kita ketahui bahwa dengan A = 48 sehingga diperoleh

 

 

 

Tadaa~ dapet deh hasilnya ^_^. Sekarang saatnya masuk ke tahap terakhir yaitu Looking Back. Kita akan mencari tahu apakah hasil perhitungan kita benar-benar valid? Nah sekarang kita coba teliti kembali hasil jawaban kita. Kita mengetahui dari tahap sebelumnya bahwa volume sebarang kotak yaitu , nah untuk membuktikan bahwa hasil yang kita dapat valid, kita harus menemukan nilai dari p, l, dan t. Cara mencarinya sangat gampang. Pertama, kita harus mengetahui salah satu prinsip ini: Volume mencapai maksimum dimana terjadi kesamaan, dalam arti pl = 2lt = 2pt. Perhatikan 2lt = 2pt => l = p sehingga diperoleh

 

 

 

 

diperoleh p = l = 4

akan dicari untuk z. Perhatikan pl = 2lt => p = 2t sehingga diperoleh

diperoleh t = 2. Dari hasil p, l, dan t diperoleh bahwa volumenya adalah

terbukti deh :D.

Jadi, metode problem solving ala Polya menurut saya cukup efektif dalam menyelesaikan permasalah matematika, baik yang sederhana maupun rumit. Baiklah demikian postingan ini, semoga bermanfaat. Bagi yang mau berkomentar, monggo~ ^_^