Jewish Problems

Tanya Khovanova

Sumber: http://www.tanyakhovanova.com/

Jewish Problems adalah judul dari sebuah paper yang ditulis oleh Tanya Khovanova dari MIT dan Alexey Radul dari Hamilton Institute at NUIM. Paper ini berisi kumpulan soal yang digunakan untuk menseleksi para pendaftar departemen matematika di Moscow State University. Soal-soal berikut didesain untuk mencegah kaum Yahudi maupun para applicant yang tidak diinginkan untuk lulus dalam tes. Hebatnya, soal-soal yang sulit tersebut dibuat dengan solusi yang sederhana namun sulit untuk ditemukan. Buat apa membuat soal yag seperti itu? Agar terbebas dari komplain dan protes bagi mereka yang tidak lulus.

Sejarah Jewish Problems
Berdasarkan paper tersebut, berdasarkan sudut pandang/cerita pribadi Tanya Khovanova, bahwa Departemen Matematika di Moscow State University secara aktif mencegah siswa Yahudi (dan siswa-siswa yang tidak diinginkan) untuk bisa belajar di departemen tersebut. Satu metode yang digunakan dalam ujian adalah dengan memberikan soal-soal yang berbeda dengan yang lain pada ujian lisan. Menurut Tanya, soal tersebut didesain dengan solusi elementer (gampangnya, solusinya ‘mudah’ seperti mencari nilai limit dari fungsi yang panjang tapi hasilnya 0) yang sangat sulit untuk diperoleh. Bagi mereka yang tidak bisa menjawab soal tersebut maka otomatis akan dinyatakan tidak lulus, sehingga sistem tersebut sangat efektif dalam mengontrol siswa mana yang diinginkan dan mana yang tidak.
Masalah-masalah tersebut dan solusinya tentu saja dirahasiakan (gak kayak soal UN ya yang bisa disebar-sebar :) ), namun Valera Senderow, gurunya Tanya, dan koleganya dapat mengumpulkan soal-soal menjadi sebuah daftar soal. Pada 1975, mereka bersama dengan 8 siswa Soviet terbaik (termasuk Tanya) mencoba menyelesaikan soal tersebut yang dalam sebulan baru bisa menyelesaikan setengahnya. Mereka mencoba mencari cara bagaimana bisa menyelesaikan soal tersebut agar nantinya bisa diajarkan kepada siswa Yahudi dan siswa lainnya dalam mengerjakan soal tersebut.

Contoh Soal dan Solusinya
Berikut adalah salah satu soal yang termasuk dalam paper tersebut dan solusinya.
Soal 1.
Selesaikan pertidaksamaan berikut untuk $x$ positif:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}.$$
Solusi 1.
Pertama, perhatikan bahwa untuk $x>1$, pertidaksamaan menjadi tidak terdefinisi. Selanjutnya definisikan $y$ dengan
$$y=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}.$$
Perhatikan bahwa untuk suatu nilai $x$ yang diperbolehkan, kita peroleh
$$0\leq y\leq1$$
dan $y$ menurun secara monoton di $x$. Perhatikan juga bahwa
$$x=\frac{1-y^{2}}{1+y{2}}$$.
Berdasarkan syarat-syarat diatas, maka pertidaksamaan dapat dibentuk menjadi:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}$$
$$x(8\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}+1) \leq 11-16\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$
$$\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}(8y+1) \leq 11-16y$$
$$(1-y^{2})(8y+1) \leq (1+y^{2})(11-16y)$$
$$-8y^{3}-y^{2}+8y+1 \leq -16y^{3}+11y^{2}-16y+11$$
$$-8y^{3}+12y^{2}-24y+10 \geq 0$$
$$(2y-1)(-4y^{2}+4y-10) \geq 0$$
Sekarang, $-4y^{2}+4y-10$ selalu negatif, sehingga pertidaksamaan dapat disederhanakan lagi menjadi
$$2y-1 \leq 0.$$
Karena kemonotonan $y$ terhadap $x$ dan fakta bahwa
$$\frac{1-(1/2)^{2}}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5},$$
sehingga jawaban akhirnya adalah
$$\frac{3}{5} \leq x \leq 1.$$
Jujur saja, saya masih surprise bahwa cara menyelesaikan soal berikut adalah dengan mendefinisikan variabel baru dan beberapa sifat seperti monoton turun karena seinget saya saya baru denger kata monoton naik/turun pada mata kuliah kalkulus dan analisis real, wah berarti peradaban matematika di Rusia sangat maju ya saat itu. Saya penasaran apa mereka sudah ngulik teorema limit sejak SMA ya? :)

Masih banyak lagi soal yang terdapat pada paper tersebut. Paper tersebut dapat di download pada link sumber dibawah.
Sumber:
Jewish Problems oleh Tanya Khovanova dan Alexey Radul