Mengapa Logika Formal?

Sumber: http://home.sandiego.edu

Apa bedanya ketika kita lebih sering menulis dibanding “dan”, atau menulis dibanding “ada beberapa/ada”? Beberapa simbol tersebut mungkin jarang digunakan di cabang matematika, misalnya pada jurnal ilmiah mengenai persamaan diferensial.

Salah satu alasannya adalah jika kita tertarik dengan logika yang berkerja pada suatu bentuk matematis. Misalnya seperti

mungkin terlihat jauh lebih sulit. Tetapi, tapi menggunakan bentuk simbolik seperti ini suatu bentuk matematis akan lebih sulit untuk dianalisa.

Walaupun tidak semua matematikawan tidak ingin menjadi ahli logika, mereka tetap akan membutuhkan suatu bentuk simbolik dari suatu pernyataan matematis. Sifat dasar dari suatu simbol seperti perbedaan antara dengan akan lebih mudah dimengerti ketika dinyatakan dalam bentuk simbolik.

Selain itu, walaupun bentuk simboliknya tidak ditunjukkan secara eksplisit atau terang-terangan seperti contoh diatas, penekanan konsepnya implisit dalam definisi yang berbeda. Misalnya, ekspresi matematis

mungkin muncul didalam beberapa textbook di kalkulus, analisis real atau persamaan diferensial. Salah satu cara mendefinisikan limit supremum diatas adalah sebagai berikut: Untuk bilangan r mengikuti suatu sifat berikut:

Biasanya para matematikawan umumnya berfikir mengenai limit supremum seperti bentuk simbolik diatas daripada hanya sekedar mengikuti definisi tertulis, tapi mereka tetap harus mempelajari definisinya secara penuh daripada hanya dalam bentuk kata-kata atau simbolik.

Jadi, alasannya mengapa kita butuh mempelajari logika formal adalah:

• Untuk mempermudah pendefinisian;
• Untuk mempermudah dalam hal menganalisa bentuk matematis suatu definisi;
• Untuk mempersingkat penulisan definisi;
• dan lain-lain.

Sebenarnya masih banyak  alasan mengapa logika formal dibutuhkan dalam matematika terutama.

Fakta mengenai pentingnya logika formal:

Anda tahu mengenai Teorema 4 warna? Yaitu suatu teorema dalam teori graf yang menjelaskan bahwa semua peta dapat diwarnai kurang dari atau sama dengan 4 warna. Teorema ini dibuktikan oleh Kenneth Apple dan Wolfgang Hakel pada tahun 1987. Namun, pembuktian teorema ini menyebabkan kontroversi karena pembuktian yang digunakan adalah metode pembuktian proof by case atau pembuktian dengan menggunakan contoh dengan menggunakan komputer. Baru pada tahun 2005 teorema ini sepenuhnya terbukti dengan menggunakan logika formal dengan bantuan komputer.

Read More

Induksi Matematika

 

Sumber gambar: almayciudad.blogspot.com

Induksi Matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan bulat positif (bilangan asli). Induksi matematika dilakukan dengan 2 tahap. Tahap pertama adalah kasus dasar, yaitu bertujuan untuk membuktikan pernyataan yang diberikan untuk bilangan asli terkecil dalam himpunannya. Langkah kedua adalah langkah induksi, yaitu untuk membuktikan bahwa pernyataan yang diberikan bernilai benar untuk bilangan bulat positif selanjutnya (bilangan asli). Berdasarkan 2 langkah ini, induksi matematika adalah aturan yang mana untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif. Ada beberapa prinsip dan teorema yang dipakai dalam induksi matematika, diantaranya:

Prinsip Terurut-Sempurna (Well-Ordering Principle)
Setiap himpunan bilangan bulat positifS yang tidak kosong selalu memiliki unsur terkecil, yaitu:

 

Teorema Sifat Archimedes

Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat positif, maka terdapat sebuah bilangan bulat n sedemikian sehingga

Prinsip Induksi Hingga Pertama (First Principle of Finite Induction)

Misalkan S adalah himpunan bilangan positif yang memenuhi sifat-sifat berikut:

1.  
2.  

jadi S adalah himpunan semua bilangan bulat positif.

Prinsip Induksi Hingga Kedua (Second Principle of Finite Induction)
Pada dasarnya prinsip kedua tidak jauh berbeda, hanya pada aturan kedua diubah sedikit menjadi:
Jika k adalah bilangan sedemikian sehingga 1, 2, 3, ..., k anggota S, maka k+1 juga anggota S.

Berikut merupakan contoh dari pembuktian dengan induksi matematika.
Buktikan bahwa
Jawab:
Untuk akan dibuktikan:

1. Untuk n = 1, maka   benar.
2. Misalkan  n = k, sedemikian sehingga benar, maka akan dibuktikan untuk n = k+1 benar.

 

Perhatikan bahwa  , maka

 

  

adalah benar untuk n = k+1

Kesimpulan: Pernyataan adalah benar.

Read More

Mengapa Matematika Klasik?

Bagi mereka yang membaca blog ini dari postingan saya yang pertama mereka akan mengetahui bahwa blog ini mengkhususkan diri pada matematika klasik. Mengapa mesti matematika klasik? Bukankah perkembangan matematika begitu pesat? Mengapa harus mengkhususkan diri pada ilmu-ilmu klasik yang ketinggalan zaman?

Pertama saya akan menjelaskan mengapa blog ini mengkhususkan diri pada matematika klasik. Matematika pada awalnya hanya terdiri dari 2 bidang yaitu aritmatika dan geometri. Aritmatika sangat penting dalam melakukan perhitungan terutama dalam sosial seperti jual beli, menghitung pajak, menghitung jumlah ternak, dan lain sebagainya. Geometri yang lebih mengkhususkan diri pada bentuk-bentuk yang umum ditemukan diatas muka bumi juga sangat penting terutama dalam konstruksi bangunan di masa perkembangan ilmu ini. Selanjutnya matematika bercabang menjadi 3 dengan adanya filsafat. Filsafat dalam matematika sangat dipengaruhii oleh perkembangan keilmuan di Yunani dimana logika merupakan salah satu bagian dari filsafat yang sangat penting bagi logika selanjutnya. Maka dari itu, ilmu matematika memiliki 3 dasar yang utama yaitu aritmatika, geometri, dan filsafat matematika atau yang biasa disebut sebagai landasan matematika.

Bagi saya mengetahui dan mempelajari ketiga cabang ini sangat penting karena kita dapat memahami dasar dari matematika itu sendiri. Dengan mengetahui aritmatika kita mengerti prinsip-prinsip seperti induksi matematika, teori bilangan, lalu berlanjut ke kalkulus dan terus berkembang menjadi ilmu-ilmu yang lain. Dari geometri yang awalnya dari geometri Euclid berkembang menjadi geometri Lobachevsky, geometri Birkoff, geometri Hilbert lalu berkembang menjadi geometri yang jauh lebih modern seperti geometri Riemann dan lain sebagainya. Filsafat matematika berkembang dari logika menjadi logika Aristoteles, logika simbolik, logika proposisi dan logika predikat lalu berkembang menjadi logika banyak nilai seperti logika Fuzzy dan masih banyak lagi. Jadi nantinya pembahasan matematika di blog ini berangkat dari klasik ke pendekatan modern. Gabungan dari kedua ilmu pun menjadi menghasilkan bidang yang baru. Aritmatika dan geometri melahirkan aljabar, kalkulus, geometri analitik dan sebagainya. Geometri dan logika menghasilkan langkah-langkah inferensial yang memperkuat pondasi matematika. Aritmatika dan geometri menghasilkan teori himpunan. Gabungan dari ketiga ilmu tersebut menghasilkan matematika yang jauh lebih modern lagi.

Selain alasan diatas, menurut sepengetahuan penulis, masih banyak masalah klasik yang belum terselesaikan sampai sekarang seperti keberadaan balok sempurna (Existence of Perfect Cuboid), konjektur Golbach, keberadaan bilangan sempurna yang ganjil (Existence of odd perfect number), Sphere Packing's Problem,  konjektur bilangan prima kembar (Twin Prime Conjecture) dan lain sebagainya. Maka dari itu tetap beralasan mengapa kita harus mempelajari matematika klasik.

Read More

Aksioma dan Postulat, Apa Bedanya?

Bagi mereka yang kuliah di jurusan matematika, kadang kala mereka menemukan istilah 'aksioma' di buku-buku teksnya. Salah satu aksioma yang paling dikenal adalah aksioma lapangan dalam mata kuliah bilangan real, yaitu:

Untuk semua bilangan real x, y, dan z berlaku:

1.  
2.  
3. sehingga , untuk setiap  
4. sehingga  
5.  
6.  
7. sehingga , dan  
8. sehingga  
9.  

Dan ada suatu ketika mereka menemukan istilah 'postulat'. Contoh postulat yang terkenal di matematika adalah postulat kesejajaran (sekarang sudah menjadi teorema), yaitu:

Jika ada sebuah garis dan sebuah titik diluar garis, maka paling sedikit terdapat satu garis yang paralel terhadap garis tersebut yang melalui titik tersebut.

Gambar 1. Postulat Kesejajaran

Jika kita mencari istilah Postulate di wikipedia, maka secara otomatis wikipedia akan men-direct pencarian ke istilah Axiom. Disini diterangkan bahwa:

An axiom, or postulate, is a premise or starting point of reasoning.

Perhatikan bahwa disini wikipedia memberi gambaran bahwa aksioma dan postulat adalah istilah yang sama, yaitu sebagai premis atau poin awal dalam sebuah penalaran.  Namun, dalam sebuah artikel berjudul Axiomatic Systems For Geometry karya George Francis menceritakan bahwa Euclid membedakan antara aksioma dengan postulat. Euclid menyatakan bahwa aksioma adalah segala hal yang berhubungan dengan akal sehat dan logika, sedangkan postulat adalah segala asumsi yang berkaitan dengan geometri.

Berdasarkan tulisan-tulisan diatas, sebuah pertanyaan pun muncul: Apakah Aksioma dan Postulat istilah yang sama atau berbeda ? Mari kita telusuri.

Berdasarkan ilmu logika, aksioma dan postulat adalah suatu pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang tidak bisa dibantah atau sudah dipastikan bernilai benar tanpa perlu pembuktian atau demonstrasi/peragaan. Jika dalam suatu buku teks matematika anda menemukan istilah aksioma atau postulat dan mencoba membuktikannya, maka anda jelas melakukan pekerjaan yang sia-sia. Udah tahu gak bisa dibantah, ehh malah coba dibuktiin ^_^. Memang ada beberapa kasus ketika suatu aksioma atau postulat berubah menjadi teorema alias turun derajat seperti aksioma kelima Euclid (yang nantinya akan dibahas pada postingan berikutnya). Aksioma dan Postulat sangat penting dalam matematika terutama jika ingin membuktikan suatu teorema berdasarkan langkah-langkah inferensi. Dalam hal ini aksioma dan postulat adalah 2 hal yang sama.

Namun, pada masa Yunani Kuno, aksioma dan postulat adalah konsep yang berbeda. Dulu aksioma dianggap sebagai asumsi yang tidak terbantahkan, yang berkaitan dengan sebagian besar ilmu pengetahuan, sedangkan postulat hanya untuk ilmu-ilmu yang tertentu. Mari kita jelaskan keduanya dalam sudut pandang Yunani kuno:

• Aksioma

Aristoteles menggunakan istilah aksioma yang berasal dari bahasa Yunani 'axioma' yang artinya 'untuk dianggap layak' atau 'untuk diminta', kadang kala diartikan sebagai 'pendapat umum'. Dalam Matematika, aksioma dikategorikan menjadi 'Logical Axiom' dan 'Non-Logical Axiom'. Yang dimaksud dengan logical axiom adalah proposisi atau pernyataan, sedangkan non-logical axiom adalah sifat-sifat yang terdefinisi dalam domain teori matematika yang spesifik atau pernyataan logika, dimana menggunakan langkah-langkah deduksi untuk membangun teori matematika. Pernyataan seperti "Sesuatu hal yang sama dengan hal yang lain, adalah sama satu sama lain." merupakan contoh dari aksioma yang diungkapkan oleh Euclid.

• Postulat

Postulat berasal dari bahasa Latin 'postular' yang artinya 'untuk menuntut'. Tidak seperti aksioma, postulat bertujuan untuk menangkap hal-hal yang khas dari sebuah struktur. Pernyataan seperti 'Adalah mungkin menggambar sebuah garis dari suatu titik ke titik lain' adalah contoh dari postulat yang diungkapkan oleh Euclid. 

Dari penjelasan diatas diketahui bahwa aksioma dan postulat dua hal yang berbeda. Yaitu:

• Aksioma memiliki nilai benar di sebagian besar ilmu pengetahuan, sedangkan postulat hanya memiliki nilai benar di ilmu yang lebih spesifik.
• Tidak mungkin aksioma digunakan untuk membuktikan aksioma lain, sedangkan postulat dapat dibuktikan dengan aksioma.

Dengan mengambil poin kedua, kita bisa mengambil kesimpulan bahwa derajat kebenaran aksioma lebih tinggi daripada postulat.

Sumber:

Difference Between Axioms and Postulates, differencebetween.com

Axiom, Wikipedia

Axiomatic Systems for Geometry, George Francis

Read More

Apa itu Landasan Matematika?

Matematika ibarat sebuah bangunan bertingkat. Dia punya pondasi, rangka, lantai yang bertingkat, dan unsur-unsur lain yang melekat padanya. Secara struktural bangunan itu hanya dapat dipertanggungjawabkan keberadaannya sebagai bangunan apabila dibangun di atas pondasi atau landasan yang kuat. Dengan demikian, bangunan ini akan tetap kokoh dari masa ke masa meskipun diterpa badai dan taufan. Dalam matematika, landasan berfungsi untuk memperkokoh, menyokong atau menopang bangunan matematika. Selain itu landasan matematika juga sebagai sarana yang diperlukan untuk 'merenovasi' bangunan matematika itu sendiri. Dalam landasan matematika kita akan memfokuskan diri pada 2 unsur pokok, yaitu Logika Matematika (atau yang biasa disebut Symbolic Logic) dan Teori Himpunan (Set Theory).

Logika pada dasarnya adalah ilmu yang mempelajari dan merumuskan secara sistematis kaidah-kaidah yang mengatur bagaimana manusia bernalar secara benar. Yang dimaksud dengan penalaran sendiri yaitu penarikan kesimpulan dari sekumpulan pernyataan yang diberikan atau yang biasa kita sebut sebagai premis. Dalam logika, suatu penalaran yang sah hanya dapat dianggap valid jika premis-premisnya benar sehingga memperoleh kesimpulan yang benar. Maka dari itu logika matematika adalah ilmu yang mempelajari dan merumuskan secara sistematis kaidah-kaidah matematika. Mengapa logika matematika disebut juga sebagai logika simbolik? Karena dalam logika matematika kita menggambarkan suatu pernyataan dan relasi antar pernyataan dengan simbol. Misalkan pernyataan '1 adalah bilangan asli' disimbolkan dengan P lalu pernyataan '1 adalah bilangan bulat' disimbolkan dengan Q, apabila antara kedua pernyataan dihubungkan/direlasikan dengan kata 'atau' maka diperoleh suatu hubungan antar pernyataan '1 bilangan asli atau 1 bilangan bulat' yang secara simbolik dapat ditulis . Pembahasan lebih lanjut mengenai logika matematika akan disampaikan pada postingan selanjutnya.

Selain logika sebagai salah satu pondasi matematika ada juga Teori Himpunan. Teori Himpunan adalah ilmu yang mempelajari mengenai sekumpulan objek, khususnya objek matematis, yang terdefinisi jelas. Apa yang dimaksud dengan terdefinisi dengan jelas? Maksudnya objek itu memiliki sifat yang jelas. Misalnya himpunan bilangan ganjil, bilangan ganjil terdefinsi dengan jelas karena memiliki sifat yang jelas, yaitu bilangan ganjil (selalu) dalam bentuk 2n+1, atau himpunan bilangan prima memiliki sifat yang jelas yaitu bilangannya memiliki faktor 1 dan bilangan itu sendiri. Teori himpunan memiliki andil yang sangat besar dalam perkembangan matematika, misalnya dalam mendefinisikan cabang matematika lain seperti teori bilangan, teori grup, geometri dan bahkan membantu ilmu-ilmu diluar matematika seperti fisika dalam fisika teorinya, biologi dengan sistem taksonominya dan lain sebagainya. Pembahasan lebih lanjut mengenai teori himpunan juga akan dijelaskan dalam postingan selanjutnya untuk pembahasan lebih mendalam.

Ilmu logika dan teori himpunan adalah ilmu-ilmu klasik yang menjadi dasar bagi ilmu-ilmu lainnya, seperti sebuah pondasi dalam sebuah bangunan dan ilmu-ilmu lainnya seperti bangunan yang dibangun diatas pondasi ini. Meskipun andil kedua ilmu ini sangat besar, anehnya di Indonesia pembahasan mengenai 2 ilmu ini tidak begitu mendalam. Jarang sekali ada textbook yang mengulas 2 ilmu ini secara lebih mendalam. Padahal dengan memperdalam logika dan teori himpunan kita dapat memperkuat teori-teori baru bahkan membuat sendiri teori baru itu. Maka dari itu blog ini saya buat untuk memperkenalkan landasan matematika (Foundation of Mathematics) dan ilmu-ilmu klasik lainnya dengan harapan di Indonesia setidaknya ada yang berminat menjadi ilmuwan matematika klasik seperti Lotfi A. Zadeh (pengembang logika fuzzy) dan Ernst Zermelo (pengembang teori himpunan ZFC).

Read More

Video - Reach Success With Mathematics (Menggapai Kesuksesan Bersama Matematika)

Dalam postingan ini saya akan berbagi sebuah video mengenai matematika, yaitu Reach Success With Mathematics. Pada awalnya video ini dibuat dalam rangka acara yang diadakan Himpunan Mahasiswa Matematika 'Identika' UPI. Di video ini saya berusaha menjawab pertanyaan orang-orang (khususnya orang awam) seperti 'Ngapain sih belajar matematika?' atau 'Bakal jadi apa sih tamatan jurusan Matematika?'. Berikut videonya :D

  

Bay de wey buswey, jika misalnya videonya jelek mohon maaf ya, soalnya saya masih nubi soal edit-edit video kayak gini, tapi semoga bermanfaat dan dapat dijadikan pencerahan buat kalian para pembaca blog ini, kan lumayan buat amal jariyah :3

Oh ya kalau misalnya kalian punya saran pembuatan video yang selanjutnya boleh-boleh aja kok, kalau bisa kita saling berbagi ide agar motto dari blog ini terwujud, yaitu:

Memperkuat Pondasi Ilmu Untuk Perkembangan Matematika

Akhir kata, salam matematika :3

Read More