Hukum Pendinginan Newton dan Waktu Terjadinya Pembunuhan

Sumber: https://cdn.nyccriminallawyer.com

Pada suatu malam ditemukan sebuah mayat di suatu gang dalam kota. Polisi segera memasang garis polisi di sekitar tempat kejadian perkara (TKP). Tim forensik pun didatangkan dari markas besar polisi untuk memeriksa korban yang kini terbujur kaku bersimbah darah.
Setelah ditunggu beberapa menit, salah seorang dari tim forensik mendatangi ke salah satu inspektur dan mengatakan: “Kami sudah mengetahui kapan korban mengalami pembunuhan. Sepertinya korban meninggal sekitar kurang lebih 2 jam yang lalu.”. Setelah mendapat keterangan tersebut, inspektur mengatakan: “Kalau begitu tersangka kemungkinan masih berada di dalam kota. Persiapkan beberapa unit untuk berjaga di perbatasan kota.”

Menurut cerita diatas, bagaimana tim forensik mengetahui bagaimana caranya menentukan waktu kematian dari mayat tersebut? Jawabannya adalah dengan menggunakan hukum pendinginan Newton.

Hukum Pendinginan Newton
Hukum pendinginan Newton mengatakan bahwa:
$$ \theta (t)=T+(\theta_{0}-T)e^{-kt} $$
dengan
$$ k=-\frac{1}{t_{1}}\ln\frac{\theta_{1}-T}{\theta_{0}-T} $$
dan
$$ t_{m}=-\frac{1}{k}\ln\frac{\theta_{m}-T}{\theta_{0}-T} $$
dimana $t_{1}$ adalah rentang waktu perubahan suhu dari ketika mayat ditemukan ($\theta_{0}$) dengan sampai dengan suhu ketika mayat didiamkan setelah ditemukan ($\theta_{1}$). Misalkan suhu ketika orang tersebut baru meninggal adalah $\theta_{m}$ (biasanya ditetapkan $37^{\circ}C=98,6^{\circ}F$ dan $t_{m}$ adalah waktu kematian yang diprediksikan.

Contoh Penggunaan:
Misalkan temperatur mayat adalah $85^{\circ}F$ ketika ditemuka dan $74^{\circ}F$ dua jam kemudian, dan suhu lingkungan disekitarnya adalah $68^{\circ}F$. Maka berdasarkan persamaan diatas:
$$ k=-\frac{1}{2}\ln\frac{74-68}{85-68} \approx 0,5207 per jam$$
sehingga
$$ t_{m}=-\frac{1}{0,5207}\ln\frac{98,6-68}{85-68} \approx –1,129 jam$$
Dengan demikian kita simpulkan bahwa mayat ditemukan kira-kira 1 jam 8 menit setelah meninggal.

Sumber: Pemodelan Matematik oleh Drs. Kusnandi, M.Si. – Universitas Pendidikan Indonesia

Read More

Jewish Problems

Tanya Khovanova

Sumber: http://www.tanyakhovanova.com/

Jewish Problems adalah judul dari sebuah paper yang ditulis oleh Tanya Khovanova dari MIT dan Alexey Radul dari Hamilton Institute at NUIM. Paper ini berisi kumpulan soal yang digunakan untuk menseleksi para pendaftar departemen matematika di Moscow State University. Soal-soal berikut didesain untuk mencegah kaum Yahudi maupun para applicant yang tidak diinginkan untuk lulus dalam tes. Hebatnya, soal-soal yang sulit tersebut dibuat dengan solusi yang sederhana namun sulit untuk ditemukan. Buat apa membuat soal yag seperti itu? Agar terbebas dari komplain dan protes bagi mereka yang tidak lulus.

Sejarah Jewish Problems
Berdasarkan paper tersebut, berdasarkan sudut pandang/cerita pribadi Tanya Khovanova, bahwa Departemen Matematika di Moscow State University secara aktif mencegah siswa Yahudi (dan siswa-siswa yang tidak diinginkan) untuk bisa belajar di departemen tersebut. Satu metode yang digunakan dalam ujian adalah dengan memberikan soal-soal yang berbeda dengan yang lain pada ujian lisan. Menurut Tanya, soal tersebut didesain dengan solusi elementer (gampangnya, solusinya ‘mudah’ seperti mencari nilai limit dari fungsi yang panjang tapi hasilnya 0) yang sangat sulit untuk diperoleh. Bagi mereka yang tidak bisa menjawab soal tersebut maka otomatis akan dinyatakan tidak lulus, sehingga sistem tersebut sangat efektif dalam mengontrol siswa mana yang diinginkan dan mana yang tidak.
Masalah-masalah tersebut dan solusinya tentu saja dirahasiakan (gak kayak soal UN ya yang bisa disebar-sebar :) ), namun Valera Senderow, gurunya Tanya, dan koleganya dapat mengumpulkan soal-soal menjadi sebuah daftar soal. Pada 1975, mereka bersama dengan 8 siswa Soviet terbaik (termasuk Tanya) mencoba menyelesaikan soal tersebut yang dalam sebulan baru bisa menyelesaikan setengahnya. Mereka mencoba mencari cara bagaimana bisa menyelesaikan soal tersebut agar nantinya bisa diajarkan kepada siswa Yahudi dan siswa lainnya dalam mengerjakan soal tersebut.

Contoh Soal dan Solusinya
Berikut adalah salah satu soal yang termasuk dalam paper tersebut dan solusinya.
Soal 1.
Selesaikan pertidaksamaan berikut untuk $x$ positif:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}.$$
Solusi 1.
Pertama, perhatikan bahwa untuk $x>1$, pertidaksamaan menjadi tidak terdefinisi. Selanjutnya definisikan $y$ dengan
$$y=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}.$$
Perhatikan bahwa untuk suatu nilai $x$ yang diperbolehkan, kita peroleh
$$0\leq y\leq1$$
dan $y$ menurun secara monoton di $x$. Perhatikan juga bahwa
$$x=\frac{1-y^{2}}{1+y{2}}$$.
Berdasarkan syarat-syarat diatas, maka pertidaksamaan dapat dibentuk menjadi:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}$$
$$x(8\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}+1) \leq 11-16\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$
$$\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}(8y+1) \leq 11-16y$$
$$(1-y^{2})(8y+1) \leq (1+y^{2})(11-16y)$$
$$-8y^{3}-y^{2}+8y+1 \leq -16y^{3}+11y^{2}-16y+11$$
$$-8y^{3}+12y^{2}-24y+10 \geq 0$$
$$(2y-1)(-4y^{2}+4y-10) \geq 0$$
Sekarang, $-4y^{2}+4y-10$ selalu negatif, sehingga pertidaksamaan dapat disederhanakan lagi menjadi
$$2y-1 \leq 0.$$
Karena kemonotonan $y$ terhadap $x$ dan fakta bahwa
$$\frac{1-(1/2)^{2}}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5},$$
sehingga jawaban akhirnya adalah
$$\frac{3}{5} \leq x \leq 1.$$
Jujur saja, saya masih surprise bahwa cara menyelesaikan soal berikut adalah dengan mendefinisikan variabel baru dan beberapa sifat seperti monoton turun karena seinget saya saya baru denger kata monoton naik/turun pada mata kuliah kalkulus dan analisis real, wah berarti peradaban matematika di Rusia sangat maju ya saat itu. Saya penasaran apa mereka sudah ngulik teorema limit sejak SMA ya? :)

Masih banyak lagi soal yang terdapat pada paper tersebut. Paper tersebut dapat di download pada link sumber dibawah.
Sumber:
Jewish Problems oleh Tanya Khovanova dan Alexey Radul

Read More

Ujian Saringan Masuk ITB Tahun 1975 Nomor 1

Sumber: pinterest.com

Suatu ketika saya dikasih buku-buku bekas berupa buku soal dan pembahasan oleh ibu kos saya, dari buku soal SMP sampai buku soal ujian saringan masuk universitas. Ketika membuka-buka halaman buku soal dan pembahasan untuk ujian saringan masuk universitas, terdapat soal yang cukup menggelitik saya. Soalnya adalah sebagai berikut:

2+2 adalah …

(1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu

Keterangan: (1), (2) dan seterusnya disini sama seperti pilihan jawaban a, b, dan lainnya.

Nah, lho? Soal apa ini? Biasanya soal untuk masuk universitas tidak ada yang sesederhana ini.

Secara intuitif, kita akan mengartikan kata ‘adalah’ sebagai ‘sama dengan’ atau ‘=’ dan kita akan menjawab jawaban (2) 4, benarkah demikian? Maka dari itu saya melihat bagian solusi dari soal tersebut yang ternyata penjelasannya cukup panjang. Berikut penjelasannya:

Membaca soal nomor 1 ini yang hanya berbunyi 2+2 adalah (1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu, jawaban yang dapat diberikan adalah sebagai berikut:

• Bagi siswa lulusan SLA yang sebagian besar belum mempelajari Matematika Modern, Boolean Algebra, sistem biner, kalkulus, jawaban untuk 2+2 adalah sama dengan 4.
• Dalam soal ini tulisan adalah bisa diartikan sebagai sama dengan, jadi bagi mereka yang memberikan jawaban “tidak tahu” bukanlah semata-mata didasarkan karena di dalam soal tidak dituliskan sama dengan.
• Bagi mereka yang telah banyak belajar matematika jawaban yang paling tepat untuk menjawab soal 2+2, jawaban adalah “tidak tahu”, karena tanda + tidak selalu berarti jumlah, dan di dalam sistem apakah soal tersebut harus dikerjakan.

Kesimpulan (menurut penulis buku):

• Dalam soal ini, 2+2 bisa dijawab “4” atau “tidak tahu”.
• Melihat ketentuan pada petunjuk Umum nomor 6 yaitu hanya ada satu jawaban yang benar, dan melihat pengikut test adalah siswa SLA yang sebagian besar belum memperoleh Matematika Modern, maka jawaban yang paling tepat adalah 2+2 adalah 4
• Setelah melihat/membaca beberapa tulisan pada surat kabar (Kompas) ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian.

Well, ini adalah jawaban yang bagi siapapun akan terdiam sejenak sambil teriak dalam hati “IT’S A TRAP!”. Tapi berdasarkan kesimpulan terakhir bahwa ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian, saya jadi bingung apa berarti jawaban (1) dan (3) bisa jadi benar? Pada sistem yang mana? atau apa memang jawaban (2) dan (4) saja yang benar/dipakai untuk pengelompokan?

Sumber:

Soal-Soal & Pembahasan ITB-SKALU-PP I-SIPENMARU-PTN-UMPTN A1 – A2 Matematika – Fisika – Kimia – Biologi – IPA Terpadu oleh Drs. Komarudin, MA, Epsilon Grup Bandung.

Read More

Model dan Pemodelan Matematika

Model matematika secara kasar didefinisikan sebagai penggambaran fenomena dunia nyata melalui bahasa/simbol matematis. Sedangkan pemodelan adalah kegiatan membuat model matematika berdasarkan fenomena nyata. Kalau merujuk pada perkataan Frank R. Giordano dkk pada bukunya yang berjudul A First Course in Mathematical Modeling: “Model matematika adalah idealisasi dari fenomena dunia nyata dan tidak pernah menjadi representasi yang lengkap sempurna”. Hal ini dapat dimengerti karena terkadang terlalu banyak variabel yang dapat berlaku pada suatu peristiwa.

Sebagai contoh misalnya gerakan bandul. Secara sederhana gerakan bandul dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Tapi, bagaimana kalau dada pengaruh lain misalnya gaya magnet di sekitar bandul (misalnya bandul terbuat dari besi) dapat mempengaruhi gerakan bandul tersebut? Atau bagaimana jika ketika bandul bergerak, gerakannya dipengaruhi oleh lingkungan di sekitarnya? Bagaimana pula jika misalnya efek coriolis bumi dapat mempengaruhi gerakan bandul? Yang lebih ekstrim lagi: Bagaimana kalau kepadakan sayap burung di Amerika Serikat dapat mempengaruhi gerakan bandul?

Walaupun tidak ada satupun model matematika yang dapat merepresentatikan keadaan dunia nyata secara sempurna, tapi model matematika yang baik dapat memberi penjelasan yang bernilai dan menghasilkan suatu kesimpulan yang setidaknya dapat menggambarkan dunia nyata sebagai mungkin. Kira-kira bagaimana pemodelan matematika dapat memperoleh gambaran matematis dari suatu fenomena?

Siklus Pemodelan Matematika

Perhatikan siklus dibawah ini:

Gambar: Siklus pemodelan matematika, dimulai dari data dari fenomena nyata

Sumber: A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk

Dari siklus diatas dapat dilihat bahwa pemodelan matematika dimulai dari fakta-fakta fenomena yang teramati, lalu melalui proses simplifikasi masuk ke tahap Model. Di tahap Model kita mencoba menerjemahkan fenomena tersebut ke dalam bentuk matematis. Setelah model matematika dibentuk, model tersebut masuk dalam proses analisis sehingga diperoleh Kesimpulan matematis. Kesimpulan matematis adalah produk jadi dari analisa ktia terhadap model yang telah dibuat yang nantinya akan masuk ke tahap Prediksi melalui proses interpretasi terhadap Kesimpulan matematis. Dari sini kita tentunya akan menguji apakah hasil yang kita peroleh sesuai dan mengikuti (atau setidaknya mendekati) fakta fenomena yang diamati sebelumnya melalui proses verifikasi. Apabila model tersebut belum bisa menggambarkan fenomena dunia nyata secara akurat (setidaknya dengan rentang kesalahan yang minim) maka proses akan diulang dari proses simplifikasi kembali. Atau pun kalau model yang dibuat sudah sesuai, maka model tersebut dapat menjadi model yang lebih sempurna dengan mengikuti alur siklus pemodelan ini.

Tujuan dan Manfaat Pemodelan Matematika

Ada beberapa manfaat yang diperoleh dengan menyederhanakan fenomena dunia nyata menjadi model matematika. Berdasarkan Lecture Note An Introduction to Mathematical Modeling oleh Gleen Marion, contoh manfaatnya adalah:

1. Karena matematika adalah bahasa yang sangat presisi, hal ini dapat memudahkan kita dalam merumuskan ide-ide dan mengidentifikasi asumsi-asumsi yang mendasari fenomena tersebut.
2. Karena matematika bahasa yang ringkas, dengan aturan-aturan yang terdefinisi dengan baik untuk melakukan manipulasi.
3. Semua hasil yang diperoleh matematikawan yang teruji ratusan tahun dapat digunakan.
4. Komputer dapat melakukan melakukan kalkulasi numerik.

Selain itu terdapat beberapa tujuan yang dapat diraih dalam membentuk model matematika, misalnya:

1. Membangun pemahaman saintifik
2. Menguji efek-efek perubahan dalam suatu sistem
3. Sebagai alat bantu dalam membuat keputusan

Sampai disini penjelasan mengenai model matematika. Di lain kesempatan saya akan memberi penjelasan mengenai klasifikasi model matematika dan contoh dari pemodelan matematika.

Sumber:

• An Introduction to Mathematical Modeling oleh Glenn Marion
• A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk

Read More

[Darimana Asalnya?] Rumus Panjang Lintasan Bola

Soal ini cukup populer muncul di soal ujian: Diketahui suatu bola dijatuhkan dari suatu ketinggian $h$ lalu ketinggian bola tersebut menjadi $\frac{a}{b}$ dari ketinggiannya semula. Maka panjang lintasan bola dari posisi awal sampai berhenti memantul.
Jika kita melihat beberapa buku mengenai soal yang sama, maka tanpa banyak penjelasan digunakanlah rumus berikut:
$$ S_{lintasan}=h(\frac{b+a}{b-a}) $$
Pernahkan anda bertanya darimana rumus itu berasal? Apakah rumus itu muncul begitu saja? Tentu saja tidak! Kita harus tahu bahwa dalam matematika, suatu formula diperoleh berdasarkan fakta-fakta atau asumsi-asumsi yang berdasar. Maka dari itu postingan blog berikut akan mencoba menurunkan rumus tersebut berdasarkan asumsi-asumsi atau fakta-fakta terkait masalah tersebut.
Pertama, perhatikan gambar berikut.

Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa terdapat dua lintasan yang ditempuh oleh bola, yaitu lintasan ketika bola bergerak turun dan lintasan ketika bola bergerak naik. Lintasan turun dimulai dari ketika bola ketinggian awal, yaitu $h$ lalu karena ketinggian bola akan menjadi se-$\frac{a}{b}$ dari ketinggian awal maka lintasan turun berikutnya adalah $h (\frac{a}{b})$, selanjutnya menjadi $h (\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak turun dapat dihitung dengan:
$$ S_{turun} = h+h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+…$$
Karena diasumsikan bola akan terus memantul dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ terus menerus, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga $S_{turun}$ dapat dihitung dengan rumus:
$$S_{\infty}=\frac{U_{1}}{1-r}$$
dimana $U_{1}$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio $\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$. Akibatnya
$$S_{turun}=\frac{h}{1-\frac{a}{b}}=\frac{h}{\frac{b-a}{b}}=\frac{hb}{b-a}$$
Sekarang untuk lintasan bola naik, perhatikan bahwa karena bola memantul dengan dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ dari ketinggian semula, maka lintasan bola naik yang pertama adalah $h(\frac{a}{b})$, lalu selanjutnya menjadi $h(\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak naik dapat dihitung dengan:
$$S_{naik}=h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+h(\frac{a}{b})^3+…$$
Dengan asumsi yang sama dengan ketika bola bergerak turun, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga
$$S_{naik}=\frac{h(\frac{a}{b})}{1-\frac{a}{b}}=\frac{\frac{ha}{b}}{\frac{b-a}{b}}=\frac{ha}{b-a}$$
Jadi, panjang keseluruhan lintasan bola dapat dirangkum menjadi
$$L_{lintasan}=L_{naik}+L_{turun}$$
$$=\frac{ha}{b-a}+\frac{hb}{b-a}=\frac{ha+hb}{b-a}=\frac{h(a+b)}{b-a}$$
$$=h(\frac{b+a}{b-a})$$

Read More

Ayo Beralih Ke Open-Textbook!

sumber: http://www.codlrc.org

Bagi mereka yang masih kuliah, baik yang S1 maupun yang S2, pasti pernah merasakan kebingungan dalam hal mencari buku teks yang dibutuhkan dalam mata kuliahnya. Apapun jurusannya, ilmu alam, ilmu sosial, seni maupun sastra akan merasakan sulitnya mencari buku teks. Kalaupun ada, harganya mahal sekali untuk kisaran mahasiswa yang secara finansial kere terbatas. Buku yang berbahasa Indonesia seperti bukunya Howard Anton “Aljabar Linear Elementer” edisi 8, satu jilid-nya saja seharga Rp. 342.000 sudah termasuk pajak. Jika dibeli di “pasar gelap” harganya sekitar Rp. 273.000. Mau tau harga buku impor matematika? Saya pernah ke salah satu toko buku di Bandung yang menjual buku teks impor berjudul “Complex Variables and Applications” karya Brown dan Churchill edisi terbaru dijual seharga kurang lebih Rp. 800.000. Wow, uang bulanan beasiswa saya aja gak nyampe segitu :)

Sebenarnya ada beberapa alternatif yang dapat dilakukan mahasiswa untuk bisa memenuhi kebutuhan buku teksnya, salah satunya adalah tukang fotokopi deket kampus. Saya yakin setiap mahasiswa juga pernah membeli buku fotokopi-an atau mencetak ulang buku yang ada di perpustakaan pusat. Jujur aja saya pun demikian hehehe :v Cukup dimaklumi mengapa kita mau gak mau membeli buku fotokopi-an, karena harganya sangat murah meriah. Kalau bukunya Purcell “Kalkulus” aslinya seharga Rp. 250.000, di tukang fotokopi cukup bayar Rp. 60.000 aja. Tapi konsekuensinya ya kualitasnya tidak sebagus asli, tidak berwarna hanya hitam dan putih seperti hidupmu. Apalagi biasanya dosen mewajibkan kita membeli buku teks full-english seperti buku Introduction to Real Analysis-nya Bartle, mau gak mau daripada beli buku aslinya (emang ada yang jual aslinya?) yang bisa jadi ampe jutaan rupiah, mending beli fotokopian-nya.

Bayangin, udah bukunya full-english, isinya bukan cuman rumus tapi teorema-teorema mind-bending breaking

sumber: http://ecx.images-amazon.com

Bagaimana kalau yang harus dibeli adalah buku-buku ‘langka’? Buku-buku langka yang dimaksud misalnya seperti buku-buku yang dipakai untuk penelitian skripsi. Mau beli online? Boro-boro, kartu kredit aja gak punya :v Kalau punya juga sayang banget beli buku nyaris jutaan cuman dipake pas bikin skripsi doang, setelah selesai cuman jadi pajangan atau dijual, kertasnya dipake buat bungkus bala-bala, kan rugi :v Jadilah kita mencarinya di situs-situs yang memberikan akses gratis ke buku-buku Copyrighted. Ih asik gratis, kenapa gak download aja trus cetak? Selain lebih murah bahkan bagi mereka yang punya tablet segede 7-12 inch mereka bisa baca aja tuh di tabletnya pake aplikasi khusus. Rp.0 modalnya, apalagi download-nya via wifi kampus yang cepetnya luar biasa.

Salah satu buku ‘langka’ yang saya pakai saat mengerjakan skripsi

Sumber: http://www.amazon.com

Sebenarnya, kalau mau lebih rajin nyari via Google kita bisa aja menemukan buku-buku gratis buatan orang-orang yang tulus ingin membantu mahasiswa kere agar bisa memperoleh buku teks yang berkualitas dan gratis bernama Open-Textbook. Apaan tuh Open-Textbook? Menurut analisis saya Wikipedia, Open-Textbook adalah buku teks yang berlisensi terbuka dan disediakan secara online untuk dapat digunakan secara bebas oleh siswa, guru dan publik. Jadi intinya, buku-buku berlisensi terbuka tersebut adalah buku yang dapat digunakan, diadaptasikan dan didistribusikan secara bebas. Buku-buku ini biasanya dapat diunduh secara gratis, atau bahkan di cetak dengan biaya yang sangat minim. Dengan menggunakan buku-buku ini, dijamin lebih varokah etis dibanding kita harus membeli buku fotokopi-an deh :D

Tapi gimana nih soal kualitasnya? Bagus gak? Lengkap gak?

Saya sudah cukup ‘berpengalaman’ dalam hal membaca dan menggunakan buku-buku open-textbook dan sampai saat ini saya tidak pernah kecewa untuk memakainya, bahkan merasa sangat bersyukur bisa menemukannya! Ya, karena beberapa buku open-textbook ada yang berjenis ‘self-contain/self learn’, artinya buku itu sudah didesain untuk dapat dipakai belajar mandiri. Apakah anda pernah membaca buku Schaum’s Outline? Kira-kira 11-12 lah sama buku sakti andalan mahasiswa deadliner tersebut.

Masalah lengkap atau tidak itu relatif, tergantung kebutuhan. Ada open-textbook yang lengkap banget yang tebelnya bisa sampai 500 halaman lebih, ada yang cuman 100 halaman bahkan kurang dari 100. Biasanya yang kurang dari 100 halaman itu lecture notes dari mata kuliah tertentu.
Sebagai gambaran awal mengenai open-textbook, saya akan memberikan 2 open-textbook yang saya pakai sebagai referensi atau untuk belajar mandiri.

A First Course in Linear Algebra, Robert A. Beezer, University of Puget Sound

Lifesavers for a noob in linear algebra

sumber:linear.ups.edu

Buku ini merupakan ‘penyelamat nyawa’ saya ketika harus berhadapan dengan mata kuliah aljabar linear. Pada saat kuliah dulu, aljabar linear adalah mata kuliah yang pertamakali memperkenalkan dunia abstrak-nya matematika kepada mahasiswa baru. Bagi orang seperti saya yang tidak terbiasa dengan dunia abstrak matematika akan cukup sulit untuk mengikuti mata kuliah ini (saat itu saya tidak terbiasa karena selama SMA saya lebih menyenangi fisika dibanding matematika). Penulis buku ini, Robert, sepertinya tidak hanya baik hati karena telah membagikan buku setebal 700-an halaman ini secara gratis, tetapi juga memberikan solution manual alias contekannya sekaligus! Serius, cumpah aq gak oong ini buku bakal menjadi ‘cinta kedua’ setelah bukunya Howard Anton.

Buku diatas dapat didownload di halaman situs berikut: http://linear.ups.edu/download.html

Calculus I,II,III, Paul Dawkins, Lamar University

Salah satu cuplikan dari Calculus II, Paul Dawkins

sumber: Calculus II

Ingin belajar kalkulus tapi males latihan, pengennya ‘disuap’ terus sampai paham tanpa effort buat ngerjain latihan soal? Buku ini dapat menjadi jawaban buat kamu para mahasiswa yang ngerasa otaknya bekerja dengan cara ‘ku lihat-ku baca-ku menang’ atau bagi mereka yang cukup pede dengan muscle memory-nya. Soalnya buku ini banyak banget ngasih contoh pengerjaan soal-soal kalkulus, mulai dari yang sederhana sampai soal yang sulit sekalipun. Sebagai konsekuensinya, buku ini menjadi sangat tebal dan menjadi tidak begitu bersahabat dengan dompet ketika akan di cetak, jadi lebih baik buku ini menjadi buku referensi ketika ada waktu kosong buat membaca materi bukunya.

Buku diatas dapat didownload di halaman situs berikut: http://tutorial.math.lamar.edu/download.aspx

Oh ya mungkin beberapa teman penasaran apakah ada open-textbook buatan dosen-dosen Indonesia? Sebenarnya ada kok, cukup banyak malah. Tapi untuk saat ini saya hanya akan membahas mengenai open-textbook buatan dosen-dosen luar. Mungkin pembaca sekalian ada yang pernah men-download salah satunya? Bagi yang tau link buat mengunduh open-textbook buatan dosen Indonesia dapat di-share di kolom komentar dibawah ini. Rencananya sih saya akan membuat repository khusus untuk mengumpulkan open-textbook agar bagi mereka yang ingin mencari dapat mencarinya dengan gampang melalui blog ini. Semoga tulisan ini dapat membantu dan mencerahkan :)

Read More

[Darimana Asalnya?] Rumus ABC

Belakangan ini saya sering berlatih menurunkan rumus-rumus yang dulunya pernah saya pelajari semasa SMP dan SMA. Selain karena untuk mempertajam ingatan saya dan intuisi saya dalam mengerjakan soal-soal matematika, juga sebagai repository pribadi, jika misalnya ada yang menanyakan “Ini kok rumusnya bisa kayak begini?” atau “Darimana asalnya rumus ini?” saya bisa menjawabnya dengan penuh rasa bangga :v Maka dari itu saya membuat konten khusus yang (semoga saja) membuat saya lebih rajin posting di blog ini. Oh ya semenjak Open Live Writer saya sudah mulai terintegrasi dengan blog saya, sepertinya ini sudah saatnya saya mulai menulis lagi.

Oke kita mulai ^_^!

Siapa yang tidak tahu rumus ABC? Bagi mereka yang belajar di SMP dan SMA pasti akan bertemu dengan rumus ini, terutama ketika belajar tentang persamaan kuadrat. Banyak hal yang membuat rumus ini sangat terkenal, pertama karena rumus ini sangat annoying abis, ribet dan terkesan susah dihapal, kedua karena dibalik kerumitannya ternyata rumus ini sangat efektif dibandingkan dengan metode-metode pemfaktoran yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal persamaan kuadrat.

Rumus ABC disebut sebagai rumus ABC karena biasanya rumus ini ditulis dengan 3 huruf a,b dan c:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a} $$

Bagaimana rumus diatas bisa terbentuk? Apakah dengan mantra mumbo jumbo atau sejenisnya?

Sebenarnya untuk menurunkan rumus ABC diatas cukup dengan cara melengkapkan kuadrat:

$$ x^2+bx+(\frac{1}{2}\times b)^2 = (x+\frac{1}{2}\times b)^2 $$

dan fakta bahwa

$$ x^2=p \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{p} $$

dengan $$x_{1} = +\sqrt{p}$$ dan $$x_{2} = –\sqrt{p} $$

Dengan teknik diatas, akan kita cari rumus ABC.

Pertama, misalkan $ ax^2 +bx+c=0 $ adalah persamaan kuadrat yang akan dicari akar-akarnya. Maka

$$ ax^2 +bx=-c$$

$$ \frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}=\frac{-c}{a} $$

$$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

Sekarang, dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh:

$$x^2 +\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a} +(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2$$

$$(x+\frac{1}{2}\times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}$$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{-4a^2 c+b^2 a}{4a^3}} $$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{a(-4a c+b^2 )}{4a^3}} $$

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{1}{2a}\sqrt{-4a c+b^2} $$

atau

$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

sehingga diperoleh

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

dengan

$$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

dan

$$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$

Demikian tulisan saya mengenai Rumus ABC, semoga bermanfaat ^_^

Read More