Bunuh Diri atau Dibunuh?

Sumber: google.com

 

Dilaporkan bahwa ditemukan seseorang meninggal di dekat sebuah gedung. Gedung tersebut setinggi 46 meter dan mayat ditemukan sekitar beberapa meter dari gedung. Setelah dilakukan perhitungan, seorang tim forensik melaporkan bahwa ada kemungkinan korban dibunuh walaupun tidak terdapat luka pukul, sayatan maupun tusukan. Karena tidak ada bukti yang cukup kuat seperti saksi mata, barang bukti bekas pembunuhan atau rekaman kamera CCTV, maka satu-satunya yang dapat dijadikan alat untuk mengambil kesimpulan akan hal yang terjadi pada korban adalah hasil perhitungan yang dilakukan tim forensik.

 

“Berarti mau tidak mau kita harus mengandalkan apa yang telah ditemukan oleh tim Forensik. Kalau begitu mari kita cari siapa saja teman dekat, keluarga ataupun musuh dari si korban” ujar seorang inspektur.

 

Bagaimana caranya menentukan apakah seseorang yang meninggal karena jatuh dari tempat yang tinggi adalah korban pembunuhan ataupun bunuh diri?

 

Berdasarkan paper yang dibuat oleh Rod Cross yang berjudul Forensic Physics 101: Falls from a height, misalkan korban ditemukan meninggal dan ditemukan fakta bahwa jarak ditemukannya korban dengan bangunan sejauh $D$ dalam satuan meter dan korban jatuh dari ketinggian $H$ dalam satuan meter. Jika kita menghiraukan hambatan udara terhadap tubuh korban ketika jatuh dari ketinggian, maka $H$ dan $D$ berkaitan dengan kecepatan luncur $v_{0}$ dan sudut luncur $\theta_{0}$ dengan

$$D=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta_{0})}{2g} \left( 1+\left(1+\frac{2gH}{v_{0}^{2}\sin^{2}(\theta_{0})} \right)^{\frac{1}{2}}\right)$$

yang mana dapat diperoleh $d=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta_{0})}{g}$ ketika $H=0$. Jarak maksimum horizontal dapat ditempuh ketika $\theta_{0}=0^{\circ}$ dan $H=0$. Dalam lompat jauh, jarak maksimum terjadi ketika $\theta_{0}=25^{\circ}$, hal ini terjadi karena $H\neq0$, namun faktor utamanya adalah karena manusia tidak bisa melompat dengan cepat dalam arah vertikal sebagaimana mereka bisa melakukannya dalam arah horizontal.

 

Sumber: Forensic Science 101: Falls from a height oleh Rod Cross Fig.1.

 

Beberapa fakta tambahan yang dapat dilakukan untuk menganalisa kejadian ini adalah sebagaimana yang dirangkum di paper tersebut.

Kecepatan lompat rata-rata dengan ancang-ancang 1 – 2 langkah	$2 – 3 m/s$
Kecepatan lompat dari posisi berdiri	$0,5 m/s$
Kecepatan dorongan	$1,5 m/s$
Sudut optimum lompat jarak jauh dari posisi berdiri	$20^{\circ} - 25^{\circ}$
Sudut minimum lompat dari posisi berdiri	$15^{\circ}$
Sudut minimum ketika didorong	$1^{\circ} - 5^{\circ}$

Tabel 1: Tabel hasil penelitian pendukung

Sumber: Forensic Science 101: Falls from a height oleh Rod Cross

Studi Kasus I (Kasus Bunuh Diri)

Misalkan seseorang berdiri di sebuah bangunan dengan tinggi bangunan sekitar 46 meter dengan landasan cukup lebar sehingga memungkinkan orang tersebut untuk melakukan  1-2 langkah sebelum melompat. Berarti kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 2-3 m/s dan sudut lompat optimum 20$^{\circ}$ – 25$^{\circ}$. Dari hasil pengolahan data diperoleh sebagai berikut:

Keterangan	Jarak Mendarat (meter)
Jika kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 2 m/s dan sudut optimumnya 20$^{\circ}$	5,832727 meter
Jika kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 2 m/s dan sudut optimumnya 25$^{\circ}$	5,647991 meter
Jika kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 3 m/s dan sudut optimumnya 20$^{\circ}$	7,211413 meter
Jika kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 3 m/s dan sudut optimumnya 25$^{\circ}$	8,59089 meter

Tabel 2: Tabel hasil penginputan fakta dasar ke persamaan diatas untuk Studi Kasus 1

Sumber: Analisa penulis

Dari hasil diatas diperoleh parameter jaraknya antara 7,21 meter – 8,59 meter.

Studi Kasus 2 (Kasus Dibunuh)

Misalkan seseorang berdiri di sebuah bangunan dengan tinggi bangunan sekitar 46 meter dengan landasan cukup sempit sehingga tidak memungkinkan orang tersebut untuk melompat sambil berlari. Berarti kecepatan lompat rata-ratanya sekitar 0,5 m/s dan sudut lompat 1$^{\circ}$-5${\circ}$. Dari hasil pengolahan data diperoleh sebagai berikut:

Keterangan	Jarak Mendarat
Jika kecepatan dorong 0,5 m/s dengan sudut lompat 1$^{\circ}$	0,770891
Jika kecepatan dorong 0,5 m/s dengan sudut lompat 5$^{\circ}$	0,823359

Tabel 3: Tabel hasil penginputan fakta dasar ke persamaan diatas untuk Studi Kasus 2

Sumber: Analisa penulis

Dari hasil diatas diperoleh parameter jaraknya antara 0,77 meter – 0,82 meter.

 

Dengan menggunakan kedua parameter dan membandingkannya dengan jarak antara gedung dengan mayat korban, bisa diinterpretasikan apakah korban meninggal karena bunuh diri atau dibunuh. Misalnya korban ditemukan dengan jarak sekitar 8 meter dari gedung, maka bisa dikatakan dia bunuh diri.

 

Peringatan

Model diatas belum tentu bisa dijadikan alat bukti kuat untuk mencari tahu penyebab kematian korban. Karena bisa terdapat banyak faktor yang menyebabkan korban jatuh dari ketinggian. Misalnya saja adalah bagaimana jika korban dibunuh tapi dibuat keadaan seakan-akan korban bunuh diri? Atau bagaimana jika korban bunuh diri tanpa melakukan ancang-ancang melompat? Apakah benar hambatan udara bisa diabaikan? dan masih banyak lagi penyebab yang mungkin bisa dilakukan penelitian untuk mengisi kekosongan tersebut. Anda mungkin ingin meneliti kasus ini? :)

 

Sumber:

Forensic Science 101: Falls from a height oleh Rod Cross (2008)

Read More

Hukum Pendinginan Newton dan Waktu Terjadinya Pembunuhan

Sumber: https://cdn.nyccriminallawyer.com

Pada suatu malam ditemukan sebuah mayat di suatu gang dalam kota. Polisi segera memasang garis polisi di sekitar tempat kejadian perkara (TKP). Tim forensik pun didatangkan dari markas besar polisi untuk memeriksa korban yang kini terbujur kaku bersimbah darah.
Setelah ditunggu beberapa menit, salah seorang dari tim forensik mendatangi ke salah satu inspektur dan mengatakan: “Kami sudah mengetahui kapan korban mengalami pembunuhan. Sepertinya korban meninggal sekitar kurang lebih 2 jam yang lalu.”. Setelah mendapat keterangan tersebut, inspektur mengatakan: “Kalau begitu tersangka kemungkinan masih berada di dalam kota. Persiapkan beberapa unit untuk berjaga di perbatasan kota.”

Menurut cerita diatas, bagaimana tim forensik mengetahui bagaimana caranya menentukan waktu kematian dari mayat tersebut? Jawabannya adalah dengan menggunakan hukum pendinginan Newton.

Hukum Pendinginan Newton
Hukum pendinginan Newton mengatakan bahwa:
$$ \theta (t)=T+(\theta_{0}-T)e^{-kt} $$
dengan
$$ k=-\frac{1}{t_{1}}\ln\frac{\theta_{1}-T}{\theta_{0}-T} $$
dan
$$ t_{m}=-\frac{1}{k}\ln\frac{\theta_{m}-T}{\theta_{0}-T} $$
dimana $t_{1}$ adalah rentang waktu perubahan suhu dari ketika mayat ditemukan ($\theta_{0}$) dengan sampai dengan suhu ketika mayat didiamkan setelah ditemukan ($\theta_{1}$). Misalkan suhu ketika orang tersebut baru meninggal adalah $\theta_{m}$ (biasanya ditetapkan $37^{\circ}C=98,6^{\circ}F$ dan $t_{m}$ adalah waktu kematian yang diprediksikan.

Contoh Penggunaan:
Misalkan temperatur mayat adalah $85^{\circ}F$ ketika ditemuka dan $74^{\circ}F$ dua jam kemudian, dan suhu lingkungan disekitarnya adalah $68^{\circ}F$. Maka berdasarkan persamaan diatas:
$$ k=-\frac{1}{2}\ln\frac{74-68}{85-68} \approx 0,5207 per jam$$
sehingga
$$ t_{m}=-\frac{1}{0,5207}\ln\frac{98,6-68}{85-68} \approx –1,129 jam$$
Dengan demikian kita simpulkan bahwa mayat ditemukan kira-kira 1 jam 8 menit setelah meninggal.

Sumber: Pemodelan Matematik oleh Drs. Kusnandi, M.Si. – Universitas Pendidikan Indonesia

Read More

Jewish Problems

Tanya Khovanova

Sumber: http://www.tanyakhovanova.com/

Jewish Problems adalah judul dari sebuah paper yang ditulis oleh Tanya Khovanova dari MIT dan Alexey Radul dari Hamilton Institute at NUIM. Paper ini berisi kumpulan soal yang digunakan untuk menseleksi para pendaftar departemen matematika di Moscow State University. Soal-soal berikut didesain untuk mencegah kaum Yahudi maupun para applicant yang tidak diinginkan untuk lulus dalam tes. Hebatnya, soal-soal yang sulit tersebut dibuat dengan solusi yang sederhana namun sulit untuk ditemukan. Buat apa membuat soal yag seperti itu? Agar terbebas dari komplain dan protes bagi mereka yang tidak lulus.

Sejarah Jewish Problems
Berdasarkan paper tersebut, berdasarkan sudut pandang/cerita pribadi Tanya Khovanova, bahwa Departemen Matematika di Moscow State University secara aktif mencegah siswa Yahudi (dan siswa-siswa yang tidak diinginkan) untuk bisa belajar di departemen tersebut. Satu metode yang digunakan dalam ujian adalah dengan memberikan soal-soal yang berbeda dengan yang lain pada ujian lisan. Menurut Tanya, soal tersebut didesain dengan solusi elementer (gampangnya, solusinya ‘mudah’ seperti mencari nilai limit dari fungsi yang panjang tapi hasilnya 0) yang sangat sulit untuk diperoleh. Bagi mereka yang tidak bisa menjawab soal tersebut maka otomatis akan dinyatakan tidak lulus, sehingga sistem tersebut sangat efektif dalam mengontrol siswa mana yang diinginkan dan mana yang tidak.
Masalah-masalah tersebut dan solusinya tentu saja dirahasiakan (gak kayak soal UN ya yang bisa disebar-sebar :) ), namun Valera Senderow, gurunya Tanya, dan koleganya dapat mengumpulkan soal-soal menjadi sebuah daftar soal. Pada 1975, mereka bersama dengan 8 siswa Soviet terbaik (termasuk Tanya) mencoba menyelesaikan soal tersebut yang dalam sebulan baru bisa menyelesaikan setengahnya. Mereka mencoba mencari cara bagaimana bisa menyelesaikan soal tersebut agar nantinya bisa diajarkan kepada siswa Yahudi dan siswa lainnya dalam mengerjakan soal tersebut.

Contoh Soal dan Solusinya
Berikut adalah salah satu soal yang termasuk dalam paper tersebut dan solusinya.
Soal 1.
Selesaikan pertidaksamaan berikut untuk $x$ positif:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}.$$
Solusi 1.
Pertama, perhatikan bahwa untuk $x>1$, pertidaksamaan menjadi tidak terdefinisi. Selanjutnya definisikan $y$ dengan
$$y=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}.$$
Perhatikan bahwa untuk suatu nilai $x$ yang diperbolehkan, kita peroleh
$$0\leq y\leq1$$
dan $y$ menurun secara monoton di $x$. Perhatikan juga bahwa
$$x=\frac{1-y^{2}}{1+y{2}}$$.
Berdasarkan syarat-syarat diatas, maka pertidaksamaan dapat dibentuk menjadi:
$$x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \leq 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}$$
$$x(8\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}+1) \leq 11-16\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$
$$\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}(8y+1) \leq 11-16y$$
$$(1-y^{2})(8y+1) \leq (1+y^{2})(11-16y)$$
$$-8y^{3}-y^{2}+8y+1 \leq -16y^{3}+11y^{2}-16y+11$$
$$-8y^{3}+12y^{2}-24y+10 \geq 0$$
$$(2y-1)(-4y^{2}+4y-10) \geq 0$$
Sekarang, $-4y^{2}+4y-10$ selalu negatif, sehingga pertidaksamaan dapat disederhanakan lagi menjadi
$$2y-1 \leq 0.$$
Karena kemonotonan $y$ terhadap $x$ dan fakta bahwa
$$\frac{1-(1/2)^{2}}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5},$$
sehingga jawaban akhirnya adalah
$$\frac{3}{5} \leq x \leq 1.$$
Jujur saja, saya masih surprise bahwa cara menyelesaikan soal berikut adalah dengan mendefinisikan variabel baru dan beberapa sifat seperti monoton turun karena seinget saya saya baru denger kata monoton naik/turun pada mata kuliah kalkulus dan analisis real, wah berarti peradaban matematika di Rusia sangat maju ya saat itu. Saya penasaran apa mereka sudah ngulik teorema limit sejak SMA ya? :)

Masih banyak lagi soal yang terdapat pada paper tersebut. Paper tersebut dapat di download pada link sumber dibawah.
Sumber:
Jewish Problems oleh Tanya Khovanova dan Alexey Radul

Read More

Ujian Saringan Masuk ITB Tahun 1975 Nomor 1

Sumber: pinterest.com

Suatu ketika saya dikasih buku-buku bekas berupa buku soal dan pembahasan oleh ibu kos saya, dari buku soal SMP sampai buku soal ujian saringan masuk universitas. Ketika membuka-buka halaman buku soal dan pembahasan untuk ujian saringan masuk universitas, terdapat soal yang cukup menggelitik saya. Soalnya adalah sebagai berikut:

2+2 adalah …

(1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu

Keterangan: (1), (2) dan seterusnya disini sama seperti pilihan jawaban a, b, dan lainnya.

Nah, lho? Soal apa ini? Biasanya soal untuk masuk universitas tidak ada yang sesederhana ini.

Secara intuitif, kita akan mengartikan kata ‘adalah’ sebagai ‘sama dengan’ atau ‘=’ dan kita akan menjawab jawaban (2) 4, benarkah demikian? Maka dari itu saya melihat bagian solusi dari soal tersebut yang ternyata penjelasannya cukup panjang. Berikut penjelasannya:

Membaca soal nomor 1 ini yang hanya berbunyi 2+2 adalah (1) 5 (2) 4 (3) 6 (4) tidak tahu, jawaban yang dapat diberikan adalah sebagai berikut:

• Bagi siswa lulusan SLA yang sebagian besar belum mempelajari Matematika Modern, Boolean Algebra, sistem biner, kalkulus, jawaban untuk 2+2 adalah sama dengan 4.
• Dalam soal ini tulisan adalah bisa diartikan sebagai sama dengan, jadi bagi mereka yang memberikan jawaban “tidak tahu” bukanlah semata-mata didasarkan karena di dalam soal tidak dituliskan sama dengan.
• Bagi mereka yang telah banyak belajar matematika jawaban yang paling tepat untuk menjawab soal 2+2, jawaban adalah “tidak tahu”, karena tanda + tidak selalu berarti jumlah, dan di dalam sistem apakah soal tersebut harus dikerjakan.

Kesimpulan (menurut penulis buku):

• Dalam soal ini, 2+2 bisa dijawab “4” atau “tidak tahu”.
• Melihat ketentuan pada petunjuk Umum nomor 6 yaitu hanya ada satu jawaban yang benar, dan melihat pengikut test adalah siswa SLA yang sebagian besar belum memperoleh Matematika Modern, maka jawaban yang paling tepat adalah 2+2 adalah 4
• Setelah melihat/membaca beberapa tulisan pada surat kabar (Kompas) ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian.

Well, ini adalah jawaban yang bagi siapapun akan terdiam sejenak sambil teriak dalam hati “IT’S A TRAP!”. Tapi berdasarkan kesimpulan terakhir bahwa ternyata pilihan jawaban digunakan sebagai kode pengelompokan untuk penilaian, saya jadi bingung apa berarti jawaban (1) dan (3) bisa jadi benar? Pada sistem yang mana? atau apa memang jawaban (2) dan (4) saja yang benar/dipakai untuk pengelompokan?

Sumber:

Soal-Soal & Pembahasan ITB-SKALU-PP I-SIPENMARU-PTN-UMPTN A1 – A2 Matematika – Fisika – Kimia – Biologi – IPA Terpadu oleh Drs. Komarudin, MA, Epsilon Grup Bandung.

Read More

Model dan Pemodelan Matematika

Model matematika secara kasar didefinisikan sebagai penggambaran fenomena dunia nyata melalui bahasa/simbol matematis. Sedangkan pemodelan adalah kegiatan membuat model matematika berdasarkan fenomena nyata. Kalau merujuk pada perkataan Frank R. Giordano dkk pada bukunya yang berjudul A First Course in Mathematical Modeling: “Model matematika adalah idealisasi dari fenomena dunia nyata dan tidak pernah menjadi representasi yang lengkap sempurna”. Hal ini dapat dimengerti karena terkadang terlalu banyak variabel yang dapat berlaku pada suatu peristiwa.

Sebagai contoh misalnya gerakan bandul. Secara sederhana gerakan bandul dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Tapi, bagaimana kalau dada pengaruh lain misalnya gaya magnet di sekitar bandul (misalnya bandul terbuat dari besi) dapat mempengaruhi gerakan bandul tersebut? Atau bagaimana jika ketika bandul bergerak, gerakannya dipengaruhi oleh lingkungan di sekitarnya? Bagaimana pula jika misalnya efek coriolis bumi dapat mempengaruhi gerakan bandul? Yang lebih ekstrim lagi: Bagaimana kalau kepadakan sayap burung di Amerika Serikat dapat mempengaruhi gerakan bandul?

Walaupun tidak ada satupun model matematika yang dapat merepresentatikan keadaan dunia nyata secara sempurna, tapi model matematika yang baik dapat memberi penjelasan yang bernilai dan menghasilkan suatu kesimpulan yang setidaknya dapat menggambarkan dunia nyata sebagai mungkin. Kira-kira bagaimana pemodelan matematika dapat memperoleh gambaran matematis dari suatu fenomena?

Siklus Pemodelan Matematika

Perhatikan siklus dibawah ini:

Gambar: Siklus pemodelan matematika, dimulai dari data dari fenomena nyata

Sumber: A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk

Dari siklus diatas dapat dilihat bahwa pemodelan matematika dimulai dari fakta-fakta fenomena yang teramati, lalu melalui proses simplifikasi masuk ke tahap Model. Di tahap Model kita mencoba menerjemahkan fenomena tersebut ke dalam bentuk matematis. Setelah model matematika dibentuk, model tersebut masuk dalam proses analisis sehingga diperoleh Kesimpulan matematis. Kesimpulan matematis adalah produk jadi dari analisa ktia terhadap model yang telah dibuat yang nantinya akan masuk ke tahap Prediksi melalui proses interpretasi terhadap Kesimpulan matematis. Dari sini kita tentunya akan menguji apakah hasil yang kita peroleh sesuai dan mengikuti (atau setidaknya mendekati) fakta fenomena yang diamati sebelumnya melalui proses verifikasi. Apabila model tersebut belum bisa menggambarkan fenomena dunia nyata secara akurat (setidaknya dengan rentang kesalahan yang minim) maka proses akan diulang dari proses simplifikasi kembali. Atau pun kalau model yang dibuat sudah sesuai, maka model tersebut dapat menjadi model yang lebih sempurna dengan mengikuti alur siklus pemodelan ini.

Tujuan dan Manfaat Pemodelan Matematika

Ada beberapa manfaat yang diperoleh dengan menyederhanakan fenomena dunia nyata menjadi model matematika. Berdasarkan Lecture Note An Introduction to Mathematical Modeling oleh Gleen Marion, contoh manfaatnya adalah:

1. Karena matematika adalah bahasa yang sangat presisi, hal ini dapat memudahkan kita dalam merumuskan ide-ide dan mengidentifikasi asumsi-asumsi yang mendasari fenomena tersebut.
2. Karena matematika bahasa yang ringkas, dengan aturan-aturan yang terdefinisi dengan baik untuk melakukan manipulasi.
3. Semua hasil yang diperoleh matematikawan yang teruji ratusan tahun dapat digunakan.
4. Komputer dapat melakukan melakukan kalkulasi numerik.

Selain itu terdapat beberapa tujuan yang dapat diraih dalam membentuk model matematika, misalnya:

1. Membangun pemahaman saintifik
2. Menguji efek-efek perubahan dalam suatu sistem
3. Sebagai alat bantu dalam membuat keputusan

Sampai disini penjelasan mengenai model matematika. Di lain kesempatan saya akan memberi penjelasan mengenai klasifikasi model matematika dan contoh dari pemodelan matematika.

Sumber:

• An Introduction to Mathematical Modeling oleh Glenn Marion
• A First Course in Mathematical Modeling oleh Frank R. Giordano dkk

Read More