Haruskah Mengikuti Buku Teks Rekomendasi dari Dosen?

Bagi siapa pun yang akan/telah merasakan kuliah sebagai mahasiswa matematika, kita pasti pernah membaca yang namanya ‘silabus’, sejenis gambaran mengenai perkuliahan mulai dari jadwal, materi dan tentunya, yang menjadi fokus dalam postingan ini, buku teks yang dijadikan referensi dalam perkuliahan tersebut.

Umumnya, buku teks yang dianjurkan dalam silabus selalu digunakan sewaktu kegiatan belajar-mengajar berlangsung. Namun, sebagaimana pengalaman saya, buku teks yang dianjurkan oleh dosen cenderung high-level, tidak mudah dipelajari, cenderung tidak cocok untuk self-study dan macam-macam hambatan lainnya. Memang sih, tidak dapat dipungkiri bahwa ada beberapa orang yang dapat menguasai buku teks tersebut, bahkan tanpa kerja keras sekalipun! Namun, yahh karena manusia itu unik, termasuk isi otaknya dan bagaimana otaknya dapat menerima dan memproses informasi yang terdapat dalam buku tersebut, tentu saja kita tidak bisa memungkiri bahwa ada sebagian dari kita (termasuk saya) yang memiliki kesulitan dalam mempelajari buku teks tertentu. Dalam hal ini saya akan share beberapa pengalaman saya mengenai buku teks ini.

Siapa yang pernah mempelajari matematika kombinatorik? Atau menyenangi mata kuliah ini, mungkin? Jujur saja, saya benci belajar kombinatorik. Dari pertama kali saya mempelajarinya di SMA (kalo di SMA biasanya dipelajari di Bab Peluang) sampai bertemu kembali di mata kuliah ini. Walaupun sebenarnya mata kuliah kombinatorik ini merupakan mata kuliah pilihan, namun sebenarnya saya terpaksa mengambil mata kuliah ini karena saat semester 7 saya tidak tau harus mencari mata kuliah apa lagi yang bisa saya ambil untuk memenuhi standar SKS dan bisa dikuasai dengan ‘relatif’ mudah. Setelah dipikir matang-matang, akhirnya saya menjatuhkan pilihan saya pada matematika kombinatorik. OK, sekarang saya akan mulai mengapa saya membenci matematika kombinatorik. Ketika mempelajari kombinatorik saat SMA, saya jarang sekali bisa menjawab soal-soal kombinatorik dengan mudah, saya tidak mudah mengerti mana soal yang harus dikerjakan dengan permutasi, mana soal yang harus dikerjakan dengan kombinasi. Ditambah kalau soal kombinatorik itu dicampur dengan materi peluang, beuh… nikmat :’D .

Ketika beranjak tua kuliah, saya berharap bahwa saya tidak akan ketemu lagi materi permutasi, kombinasi beserta cecunguk-cecunguknya. Eh saya ketemu lagi dengan ‘benda’ ini di mata kuliah Statistika Matematika! Fak! Fak! Fak! :’V. Alhasil, saya tidak dapat menguasai mata kuliah tersebut dengan baik. Alhasil saya membenci matematika kombinatorik. Tapi sepertinya memang takdir tidak memihak saya untuk bisa menghindari mata kuliah ini, lagi-lagi saya harus menghadapinya di mata kuliah Matematika Kombinatorik :’D .

Gambar 1. Buku saktinya Mbah Kenneth Haji H. Rosen

Ketika saya mengikuti perkuliahan di subjek Matematika Kombinatorik, saya membaca bagian referensi untuk melihat buku apa yang bisa saya bajak baca untuk menguasai materi ini. Ternyata referensi utamanya adalah bukunya Kenneth Rosen “Discrete Mathematics and Its Applications”. Ketika saya membaca buku tersebut, saya mengalami kesulitan dalam mempelajari materinya, saya tidak mendapat “AHA!”-moment ketika membaca setiap definisi dan teorema dan tidak mudah mengaplikasikan pada soal-soal yang tersedia di buku tersebut. Dengan setiap kesulitan yang saya dapat, mau gak mau saya harus mencari buku alternatif lainnya ~_~

Mencari dan mencari, akhirnya saya menemukan buku yang cocok dan dapat saya pahami, yaitu bukunya Ralph P. Grimaldi berjudul “Discrete and Combinatorial Mathematics – An Applied Introduction”

Gambar 2. My Hero :3

Buku ini ternyata memenuhi semua yang saya butuhkan, yaitu:

• Pertama, buku ini praktis banget, setiap definisi diberikan berserta dengan contoh yang banyak. Setiap pembuktian diberikan dan jelas, selain itu setiap penjelasan di buku ini sangat mudah dipahami oleh saya pribadi, sehingga saya jauh lebih enjoy dalam membacanya;
• Kedua, definisi atau teorema yang dipakai dalam buku ini cenderung ringkas, bersifat gw kasih lo tinggal pake dan mudah diaplikasikan di setiap soal yang ada di buku.
• Ketiga, di buku ini memiliki banyak contoh soal mulai dari yang paling mudah sampai yang jawabannya detail abis (alias panjang lebar sehingga jadi meluas :v) dan setiap contoh dijelaskan dengan sangat detail, sehingga untuk saya yang cenderung mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal secara mandiri dapat memahami dan mengerjakan soal dengan mudah.

dan masih banyak lagi manfaat yang saya peroleh dengan menggunakan referensi lain diluar silabus. Ternyata dengan menggunakan referensi lain, saya bisa menguasai materi yang awalnya sangat saya benci menjadi materi yang saya suka, bahkan saya bisa mendapat nilai yang baik :) . 

Memang kesulitan yang dihadapi biasanya adalah jika ada soal yang harus dikerjakan atau ada PR yang harus dikerjakan di buku referensi utama. Tapi semua itu bisa diatasi jika kita dapat menguasai materinya di buku referensi cadangan.

Read More

Catatan Hati Mahasiswa Matematika Konsentrasi Aljabar

Saya akan sedikit bercerita mengenai diri saya sebagai mahasiswa matematika yang mengambil konsentrasi Aljabar. Sebagai informasi, di prodi saya konsentrasi dibagi menjadi 4, yaitu konsentrasi analisis, aljabar, statistika dan terapan dengan terapan-nya di bidang komputer. Dulu saya sempet bingung mau ambil yang mana dari 4 konsentrasi itu.

Konsentrasi Analisis

Awalnya saya sempet tergoda untuk mengambil konsentrasi analisis, karena kesannya keren gitu, ada kata 'analisis'-nya :D hahahaha. Konsentrasi analisis terkenal sebagai salah satu konsentrasi tersulit yang ada di prodi matematika, apalagi dengan mata kuliah Analisis Real nya yang... sudah dijelaskan dengan kata-kata karena saking sulitnya. Konsentrasi analisis bisa dibilang 'primadona'-nya prodi Matematika. Tapi setelah saya memperhatikan beberapa performa saya di bidang yang berkaitan dengan analisis ini tidak begitu baik, maka saya memutuskan untuk tidak mengambil analisis, apalagi bidang analisis ini terkenal dengan ke-rigor-annya tingkat dewa dan saya bukan orang yang terbiasa melakukan hal-hal rigor seperti mencari nilai delta-epsilon waktu belajar limit, mencari titik limit, dan segala hal yang membuat limit kesabaran saya mendekati 0. Cukup sudah dengan delta-epsilon yang njelimet itu! Maka dari itu saya tidak mengambil konsentrasi analisis.

 Not you again...!!!

Konsentrasi Statistika

Selanjutnya konsentrasi statistika. Bagi sebagian orang mungkin menganggap bahwa konsentrasi statistika itu semacam pelarian dari matematika abstrak level dewa seperti analisis (dan aljabar), namun menurut saya itu dusta! Percaya deh, kalo melihat buku statistika matematika dan membaca isinya, kalian akan paham. Awalnya sih saya ingin mengambil statistika dikarenakan statistika itu adalah bidang yang aplikatif. Ada teori keputusan, analisis regresi dan korelasi, dan statistika multivariat dan juga ekonometrik (masih banyak lagi sub-ilmu dari konsentrasi statistika yang belum saya sebutkan) bisa diterapkan hampir di segala bidang. Apalagi saya juga bekerja paruh-waktu sebagai konsultan statistika, tentunya ini sangat bagus buat saya. Namun, semua itu berubah saat negara api menyerang ketika belajar statistika matematika. Statistika matematika itu ibarat abstraksi-nya dari dari statistika yang pernah kita pelajari di SMA atau mata kuliah statistika dasar. Dan tentunya levelnya jauh lebih tinggi. Bayangin aja, distribusi peluang aja dibagi dua: kontinu dan diskrit, yang diskrit ada 6 sedangkan yang khusus ada 7, masing-masing memiliki ciri khusus dan fungsi tersendiri, dan rumus yang berbeda.

Kelihatannya sederhana, sampai sang dosen memperkenalkan fungsi gamma~

 

Dan juga karena hasil yang saya peroleh di statistika matematika tidak begitu memuaskan, maka saya tidak jadi mengambil konsentrasi ini. 

Konsentrasi Terapan

Sebenarnya konsentrasi ini adalah favorit saya ketika saya mendengar di prodi matematika saya ada konsentrasi terapan. Tapi setelah mendengar bahwa terapannya memfokuskan diri dalam penerapan matematika di komputer saya sedikit kecewa. Pasalnya, di fakultas saya juga ada prodi ilmu komputer dan, menurut saya, daripada mengambil prodi matematika dengan konsentrasi terapan mending ngambil prodi ilmu komputer sedari awal. Tapi pada akhirnya saya salah: lebih baik ngambil terapan. Lha kok berubah pikiran? Hmm gini, beberapa lama sejak kuliah, saya mempelajari tentang automated theorem prover dan model-checking saya jadi tertarik untuk mengembangkannya dan harusnya saya mengambil prodi terapan. Tapi, malah akhirnya saya ngambil aljabar dan ini salah sasaran kalau saya ingin mengembangkan apa yang saya pelajari. Alhasil ya udah terlanjur masuk di Aljabar, mau gimana lagi T_T. Ada hal menarik dengan konsentrasi terapan di prodi saya, yaitu ada matkul yang mempelajari kriptografi! Salah satu hal yang saya minati sejak SMP.

P VS NP adalah masalah yang terkenal di bidang Matematika Terapan Komputer

(sumber: http://thmatters.files.wordpress.com)

Konsentrasi Aljabar

Akhirnya kita akan membicarakan konsentrasi yang saya ikuti sekarang, yaitu konsentrasi Aljabar! Mengambik konsentrasi aljabar awalnya diawali dengan ketika saya mengikuti mata kuliah struktur aljabar I. Saya 'terpana' dengan segala hal yang berkaitan dengan teori grup. Bagaimana kita membangun/membuat suatu sistem/struktur matematika, mempelajari apa itu isomorfisma dan mengapa isomorfisma itu sangat penting dalam struktur matematika. Dalam mata kuliah ini saya berpendapat bahwa aljabar itu adalah ilmu yang sangat universal. Hampir di semua bidang konsentrasi saya yang sebutkan diatas berkaitan dengan aljabar. Tapi salah satu tujuan yang merupakan alasan saya mengambil konsentrasi aljabar adalah karena saya ingin mempelajari landasan matematika. "Nah, lho?" mungkin itu yang ada di benak orang-orang yang mendengar pernyataan ini, baik bagi mereka di luar konsentrasi aljabar maupun didalamnya. Tapi ya memang itu alasannya. Mungkin bagi yang pernah membaca postingan saya yang ini: Teori Pembuktian: Sebuah Kajian Pembuktian dengan Logika, Filsafat, Semantik dan Aljabar, kalian akan tahu bahwa aljabar sangat berkaitan dengan interest saya di bidang Landasan Matematika. Gak cuman Teori Pembuktian, ada Teori Model, Teori Himpunan, Teori Kategori, Teori Rekursi dan bidang landasan matematika lainnya sangat berkaitan dengan aljabar. Tapi apa dikata, setelah masuk konsentrasi Aljabar saya tidak bisa mengembangkan bidang-bidang yang saya minati. Mengapa? Ini berkaitan dengan interest dosen-dosen aljabar yang lebih ke pure algebra dan applied algebra, terutama yang pure algebra seperti aljabar-C*, aljabar graf, teori modul dan lain-lain, walaupun sebenarnya ada juga Teori Kategori yang dibahas di salah satu mata kuliah konsentrasi aljabar yaa.... itu membuat saya senang :D hehehe.

Oh ya, ada satu hal yang perlu diketahui dengan konsentrasi aljabar yaitu yang, menurut kata beberapa orang diluar maupun didalam konsentrasi aljabar,  memiliki tingkat abstraksi yang tinggi! Jauh melebihi level abstraksi-nya konsentrasi analisis, statistika maupun terapan! Objek-objek yang kita pelajari cenderung 'gak jelas bentuknya' tapi 'bertulang' atau strukturnya ada. Ibarat kita sedang ngelihat hantu, bentuknya gak jelas, tapi keliatan, bisa digambarkan (kalo bisa sih) dan bisa dikasifikasikan kalo itu kuntilanak, itu pocong, itu hantu jeruk purut dan lain sebagainya (kok malah ngomongin hantu ya -_-")

Apa ini? Saya juga gak tau ini apa, yang saya tau ini diagram komutatif :v #Plak! #Wadezig!

(sumber: Wikipedia)

Oh ya, walaupun ilmu ini abstraknya 'kelewat batas' ada lho salah satu aplikasi nyatanya. Salah satunya adalah penemuan Bucky Ball yang sangat terkenal di bidang Kimia.

Ini Buckminsterfullerene alias Buckyball

masih banyak lagi terapan aljabar di bidang di luar matematika seperti fisika, biologi bahkan bahasa, mungkin nanti saya akan posting di kesempatan berikutnya.

Read More

Menulis Lagi

Duh, dah lama juga blog ini 'mati suri'. Sudah beberapa bulan blog ini sempat tidak aktif dikarenakan kesibukan baru saya, yaitu mengajar sebagai guru bimbel. Belum lagi saya juga harus sibuk mengurus skripsi sekarang walaupun belum ngontrak buat bimbingan skripsi :D. Selain itu tentunya ada alasan lain mengapa belakangan ini saya sangat malas menulis, yatu ketidakmampuan blog ini untuk menulis menggunakan Latex. Apa itu Latex? Kalian bisa melihat sendiri penjelasannya di wikipedia di sini. 

Kalau kalian melihat beberapa postingan blog ini sebelumnya, kalian tentunya melihat beberapa rumus ditulis seakan-akan menggunakan Latex, padahal sebenarnya itu hanya gambar yang saya generate menggunakan situs Codecoqs's Latex Editor. Hal ini tentunya sangat mengganggu dikarenakan seringkali ketika copy-paste rumus dari Codecoqs selalu menimbulkan masalah baru, seperti susahnya menaruh rumus sebagai inline-text karena memang ketika di-copy paste bentuk file-nya adalah gambar. Maka dari itu kadang ketika membuat satu postingan bisa sampai berjam-jam. Awalnya ini tidak begitu mengganggu saya dulunya, dikarenakan dulu saya memiliki banyak waktu untuk dibuang :D . Tapi sejak memiliki pekerjaan sebagai guru bimbel privat dimana waktu mengajarnya juga sangat padat (kerja dari sore sampai jam 9 malam) dan kadang weekend juga dipakai buat bekerja. Maka segala hal yang berkaitan dengan kegiatan menulis sedikit demi sedikit saya tinggalkan. 

Tapi, rasanya cukup disayangkan jika blog ini tidak diteruskan, karena awalnya blog ini saya buat untuk memperkenalkan bagian dari matematika yang tidak pernah/jarang disentuh di Indonesia, yaitu Landasan Matematika. Selain karena (menurut saya) interest saya ada di bidang ini, juga karena bidang ini sendiri sangat langka di Indonesia. Jadi, naif-nya, saya ingin menjadi orang pertama yang memperkenalkan ilmu ini ke khalayak akademik (masyarakat Indonesia pada umumnya) tentang landasan matematika. Maka dari itu saya harus melanjutkan misi saya untuk menulis. Tapi, saya teringat kembali dengan masalah mengenai ketidakmampuan blogger untuk menulis Latex. Maka dari itu saya mencari solusinya.

Setelah cukup lama googling, akhirnya ketemu juga solusinya di salah satu forum stackexchange.com disini. Salah satu solusi yang ditawarkan adalah dengan menggunakah MathJax, suatu open source JavaScript untuk matematika yang dapat digunakan di setiap browser. Awalnya saya pikir bakal ribet nih mesti inject source code panjang di Edit HTML blogger, namun ternyata cukup simple. 

Untuk menggunakan MathJax, sesuatu petunjuk dari forum tersebut, cukup copy-paste kode berikut:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js">
MathJax.Hub.Config({
 extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
 jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
 tex2jax: {
     inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
     displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
 },
 "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

Berikut gambarnya:

 

di bagian header (<head>) dalam templete Blogger (Design -> Edit HTML -> Edit Template).
 Setelah itu simpan templete tersebut. Dengan begitu sudah deh tinggal pake :D

Bagaimana cara menulis Latex di Blogger? Mudah sekali!

Untuk menulis dengan inline-text cukup tambahkan simbol dollar ($) di awal dan dibagian akhir rumus, seperti:

$\int x dx$ <- tipe inline-text

dengan cara menuliskannya sebagai berikut:

dan untuk tipe Equations cukup dengan tambahkan simbol dollar ($$) di awal dan di bagian akhir rumus, seperti:

$$\int x dx$$ 

dengan cara menuliskannya sebagai berikut:

Cukup mudah kan?

Terus, bagaimana saya menuliskan rumus yang lain selain contoh diatas? Bagaimana saya bisa tau berbagai macam kode Latex? Source-nya banyak kok di Google, salah satunya bisa dilihat di situs MathJax sendiri. Selain itu sebenarnya kita bisa mempelajarinya via Equations di Microsoft Word dengan mempelajari shortcut dalam menuliskan rumus, mungkin kalau sempet saya bahas di blog ini. 

Semoga postingan ini bermanfaat bagi mereka yang ingin menulis blog matematika di blogger :)

Read More

Vienna Summer of Logic 2014

In the summer of 2014, Vienna will host the largest event in the history of logic. The Vienna Summer of Logic (VSL) will consist of twelve large conferences and numerous workshops, attracting an expected number of 2500 researchers from all over the world.

Logic in Computer Science / Federated Logic Conference

• 26th International Conference on Computer Aided Verification (CAV)
• 27th IEEE Computer Security Foundations Symposium (CSF)
• 30th International Conference on Logic Programming (ICLP)
• 7th International Joint Conference on Automated Reasoning (IJCAR)
• 5th Conference on Interactive Theorem Proving (ITP)
• Joint meeting of the 23rd EACSL Annual Conference on Computer Science Logic (CSL) and
  the 29th ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS)
• 25th International Conference on Rewriting Techniques and Applications (RTA) joint with
  the 12th International Conference on Typed Lambda Calculi and Applications (TLCA)
• 17th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing (SAT)
• FLoC Workshops
• FLoC Olympic Games (System Competitions)
• SAT/SMT Summer School 2014

Mathematical Logic

• Logic Colloquium 2014 (LC)
• Logic, Algebra and Truth Degrees 2014 (LATD)
• Compositional Meaning in Logic (GeTFun 2.0)
• The Infinity Workshop (INFINITY)
• Workshop on Logic and Games (LG)
• Kurt Gödel Fellowship Competition

Logic in Artificial Intelligence

• 14th International Conference on Principles of Knowledge Representation and Reasoning (KR)
• 27th International Workshop on Description Logics (DL)
• 15th International Workshop on Non-Monotonic Reasoning (NMR)
• International Workshop on Knowledge Representation for Health Care 2014 (KR4HC)

Anda dapat melihat informasi selengkapnya disini:http://vsl2014.at/

Read More

Salah atau Benar?

Ketika kita berhadapan dengan sebuah pernyataan, yang muncul di benak kita adalah: Apakah pernyataan ini benar atau tidak? Bagaimana caranya kita bisa membedakan bahwa suatu pernyataan itu salah dan mengapa suatu pernyataan itu dianggap benar?

Dalam logika, 'Benar' dan 'Salah' memiliki istilah yang didefinisikan. Artinya, jika sesuatu itu dikatakan 'Benar', maka jelas ia memiliki syarat-syarat yang mendukung sehingga kita dapat berfikir bahwa sesuatu itu 'Benar'. Begitu juga jika sesuatu itu dikatakan 'Salah' karena ia memiliki syarat-syarat yang jelas sehingga sesuatu itu dikatakan 'Salah'. Pertama, mari kita definisikan apa itu 'Benar'.

Definisi: Benar:

Pernyataan "P" dikatakan benar jika dan hanya jika faktanya memang P.

Sebagai contoh:

• Adalah fakta bahwa Presiden Soekarno merupakan presiden pertama Indonesia. Jadi pernyataan "Presiden Soekarno merupakan presiden pertama Indonesia" benar.
• Adalah fakta bahwa 0 lebih kecil dari 1. (Saya rasa tidak ada satupun yang meragukan ini :D ). Maka pernyataan "0 lebih kecil dari 1" juga benar.

Intinya, sesuatu (pernyataan) itu benar jika dan hanya jika memang begitu adanya/faktanya. Jika tidak sesuai fakta, bagaimana? Dari sini muncullah definisi "Salah".

 Definisi: Salah

Pernyataan "P" salah jika dan hanya jika faktanya bukan P.

Misalnya:

• Bukanlah fakta bahwa setelah bulan Januari adalah bulan Maret. Jadi pernyataan " Setelah bulan Januari adalah bulan Maret" salah.
• Bukanlah fakta bahwa 1 = 0. Jadi pernyataan "1 = 0" juga salah.

 Intinya, sesuatu (pernyataan) yang tidak sesuai dengan kenyataan/fakta adalah salah.

Read More

Teori Pembuktian: Sebuah Kajian Pembuktian dengan Logika, Filsafat, Semantik dan Aljabar

BENDA apa itu Teori Pembuktian? 

Teori Pembuktian mungkin sangat asing di Indonesia dikarenakan topik yang satu ini lebih booming di negara seberang dibanding negara sendiri. Apalagi di Indonesia ilmu logika matematika lebih diteliti dalam segi penerapannya dibanding perluasan teorinya, juga sangat jarang matematikawan Indonesia yang berkecimpung di cabang Landasan Matematika, padahal di negeri seberang ilmu seperti Teori Pembuktian sudah berkembang jauh dari sekedar teori sampai penerapannya pada mesin belajar dan kecerdasan buatan. Baik, sekarang kita fokus dalam membahas apa itu teori pembuktian. 

Teori Pembuktian (Proof Theory), secara sederhana, adalah salah satu kajian dalam matematika dalam mempelajari struktur pembuktian matematika. Menurut Wikipedia, teori pembuktian merupakan cabang dari logika matematika yang menunjukkan pembuktian layaknya objek matematika secara formal, memfasilitasi analisisnya dengan teknik matematika. Menurut S. Buss dalam bukunya, Handbook of Proof Theory, dijelaskan bahwa Teori Pembuktian adalah bidang matematika yang mempelajari konsep pembuktian matematika dan keterbuktian matematika.

Pada dasarnya, pembuktian matematika ditunjukkan sebagai struktur data yang didefinisikan secara induktif misalnya seperti daftar, pohon (pohon seperti dalam teori graf), atau lainnya, yang dikonstruksi berdasarkan aksioma dan aturan inferensi dalam sistem logika. Karena 'pembuktian' memegang peranan penting dalam matematika sebagai sarana dalam mencapai kebenaran atau kesalahan suatu proposisi matematika; Teori Pembuktian, pada prinsipnya, studi dasar semua matematika. Tentu saja, penggunaan Teori Pembuktian sebagai dasar matematika tampak aneh karena Teori Pembuktian sendiri merupakan subbidang matematika. Bersama dengan Teori Model, Teori Himpunan Aksiomatik, dan Teori Rekusi, Teori Pembuktian adalah salah satu dari 4 pilar landasan matematika.

Teori Pembuktian sangat penting dalam filsafat logika, dimana ketertarikan utamanya adalah ide sebuah Pembuktian Teoritik Semantik, sebuah ide yang bergantung pada ide-ide teknis dalam Teori Pembuktian Struktural untuk menjadi layak.

Sejarah Teori Pembuktian

 Sumber: http://singularityweblog.zippykid.netdna-cdn.com

Pada pergantian abad kesembilan belas, matematika menunjukkan gaya berargumentasi yang lebih eksplisit ke arah komputasional daripada yang umum saat ini. Selama abad ini, pengenalan metode aljabar abstrak membantu menyatukan perkembangan dalam analisis, teori bilangan, geometri, dan teori persamaan, dan pekerjaan oleh matematikawan seperti Dedekind, Cantor, dan Hilbert menjelang akhir abad ini memperkenalkan bahasa himpunan teoritik dan metode penyatuan yang berfungsi untuk mengecilkan atau menekan sisi komputasional matematika. Pergeseran dalam penekanan dari perhitungan memunculkan kekhawatiran apakah metode tersebut bermakna, atau sesuai dengan matematika. Penemuan paradoks yang berasal dari penggunaan terlalu naif bahasa himpunan teoretik dan metode menyebabkan bahkan lebih mendesak kekhawatiran mengenai apakah metode modern bahkan konsisten. Hal ini menyebabkan perdebatan sengit di awal abad kedua puluh dan apa yang kadang-kadang disebut "krisis landasan (crisis of foundation)".

Dalam ceramahnya pada 1922, David Hilbert memperkenalkan Beweistheorie, atau Teori Pembuktian (Proof Theory), yang bertujuan membenarkan penggunaan metode modern untuk menyelesaikan masalah yang sangat mendasar untuk selamanya. Hal ini, menurut Hilbert, dapat dicapai dengan hal-hal berikut:

• Pertama, sebagai bagian dari abstrak, infinitary penalaran matematika dalam pertanyaan menggunakan sistem aksiomatik formal, yang menentukan sebuah bahasa formal yang ditetapkan dan mempresisikan aturan inferensi.
• Lalu melihat bukti dalam sistem ini sebagai objek kombinatorik, finit, dan membuktikan konsistensinya. Misalnya fakta bahwa tidak terdapat cara untuk men-derivasi sebuah kontradiksi - menggunakan argumen 'konkrit tidak objektif (unobjectionable).

Dengan begitu, menurut Hilbert, "...kita bergerak menuju tingkat tinggi dari kontemplasi (kebulatan pikiran), dari yang mana aksioma-aksioma, formula-formula, dan bukti-bukti teori matematika adalah dirinya sendiri sebagai objek sebuah investigasi contentional. Tapi untuk tujuan ini ide konsensus biasa dari teori matematika harus digantikan oleh formula dan aturan-aturan, dan ditiru oleh formalisme. Dengan kata lain, kita harus memiliki formalisasi ketat dari keseluruhan teori matematika... Dalam cara ini pemikiran kontentual (yang mana tentu saja tidak bisa sepenuhnya bisa dihilangkan) disingkirkan sebagaimana mestinya; dan diwaktu yang sama hal ini menjadi mungkin untuk menarik perbedaan yang tajam dan sistematis dalam matematika antara rumus dan bukti-bukti resmi di satu sisi, dan ide-ide kontentual di sisi lainnya."

Saat ini, Teori Pembuktian bisa diperlihatkan sebagai studi umum mengenai sistem deduktif formal. Perlu diketahui bahwa sistem formal ini bisa digunakan untuk memodelkan tipe inferensi yang lebih luas - modal, temporal, probabilistik, induktif, defisibel, deontic, dan lain-lain - pekerjaan dalam bidang ini sangat luas dan bervariasi. Disini, kita memfokuskan bahwa Teori Pembuktian dari Penalaran Matematis, tapi walaupun dengan batasan ini, bidang ini sangat 'luas'.

Sumber:
en.wikipedia.org/wiki/proof_theory
http://plato.stanford.edu/entries/proof-theory-development/#LatDevAppSeqCal
Jeremy Avigad, Proof Theory

Read More

Bukti Formal V.S. Bukti Informal

Pernahkah anda (khususnya mahasiswa matematika atau mereka yang pernah ikut olimpiade matematika) disuruh membuktikan suatu teorema matematika? PASTINYA! Kalo gak pernah saya ragu kalau anda adalah mahasiswa matematika :D

Ya, melakukan pembuktian adalah suatu hal yang rutin dilakukan oleh para mahasiswa matematika pada umumnya, karena (menurut saya) hal itu akan melatih pola berfikir sebagai calon matematikawan. Bukan matematikawan sejati yang tidak pernah sekalipun membuktikan satu teorema pun.

By the way, pertama saya akan menjelaskan apa itu teorema. Secara sederhana teorema adalah suatu pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya/dapat ditunjukkan kebenarannya. Berbeda dengan aksioma yang tidak perlu pembuktian sama sekali. Dalam hirarki pembuktian matematika, teorema berada di bawah aksioma dan postulat posisinya atau lebih rendah tingkatannya dibanding aksioma dan postulat. Cara-cara pembuktian teoerma sangat beragam, bisa bukti langsung, bukti tak-langsung atau reductio ad absurdum, bukti dengan kasus dan lain sebagainya. Jenis-jenis pembuktian ini akan dijelaskan pada postingan berikutnya.

Sekarang kita fokus kembali mengenai apa itu bukti formal dan bukti informal. Kebanyakan mahasiswa matematika tidak terlalu mengenal apa itu bukti formal dan apa itu bukti informal. Maka dari itu saya akan menjelaskan apa itu bukti formal terlebih dahulu.

Bukti Formal

Bukti formal secara sederhana merupakan suatu langkah pembuktian berdasarkan logika dari himpunan premis dan aksioma. Artinya pembuktian formal adalah pembuktian yang mengikuti aturan inferensi. Secara sederhana, aturan inferensi tampak seperti ini:

 

Dimana p merupakan premis-premis berhingga dan q merupakan konklusi atau kesimpulan. Perlu diketahui bahwa suatu kesimpulan yang benar diperoleh berdasarkan premis-premis yang benar. Hal ini dapat dilihat dari operasi biner . Jika salah satu premis salah maka nilai kebenaran dari  juga salah sehingga kesimpulan yang diperoleh juga salah. Hasil dari pembuktian yang mengikuti aturan inferensi haruslah berupa tautologi, artinya harus selalu bernilai benar.

Sekarang kembali fokus pada bukti formal. Bukti formal pada dasarnya berbentuk langkah-langkah logika, misalnya saya memiliki pernyataan A dan B dan ingin membuktikan bahwa kesimpulannya adalah TIDAK A, maka:

1. 
2.  

Konklusi: .

Pada pembuktian formal biasanya menggunakan komputer untuk mengklarifikasi kebenaran suatu teorema. Banyak sekali program pembuktian matematika yang disebut sebagai Automated Theorem Prover (Pembukti Teorema Otomatis) seperti Isabelle, HOL, Coq, Mizar dan lain sebagainya. Kali ini saya akan menunjukkan salah satu bukti formal mengenai pembuktian adalah bilangan irasional menggunakan Mizar Ver.6.1.11 - 3.33.722:

•  Sketsa Pembuktian Formal: Layout Informal

Theorem Th43: sqrt 2 is irrational :: PYTHAGORAS’STHEOREM
PROOF assume sqrt 2 is rational; consider a, b such that

4_3_1:                                     a^2 = 2 * b^2

and a,b are_relative_prime; a^2 is even; consider c such that a = 2 * c;
4 * c^2 = 2* b^2; 2 * c^2 = b^2; b is even; thus contradiction; END;

• Sketsa Pembuktian Formal: Layout Formal

theorem Th43: sqrt 2 is irrational
proof
  assume sqrt 2 is rational;
  consider a,b such that
4_3_1: a^2 = 2*b^2 and
  a,b are_relative_prime;
  a^2 is even;                                                        *4
  a is even;                                                 *4
  consider c such that a = 2*c;                              *4
  4*c^2 = 2*b^2;                                             *4
  2*c^2 = b^2;                                               *4
  b is even;                                                 *4
  thus contradiction;                                        *1
end;

• Bukti Formal

theorem Th43: sqrt 2 is irrational
proof
  assume sqrt 2 is rational;
  then consider a,b such that 
A1: b <> 0 and
A2: sqrt 2 = a/b and
A3: a,b are_relative_prime by Def1;
A4: b^2 <> 0 by A1,SQUARE_1:73;
 2 = (a/b)^2 by A2,SQUARE_1:def 4
  .= a^2/b^2 by SQUARE_1:69;
  then
4_3_1: a^2 = 2*b^2 by A4,REAL_1:43;
  a^2 is even by 4_3_1,ABIAN:def 1;
  then
A5: a is even by PYTHTRIP:2;
  then consider c such that
A6: a = 2*c by ABIAN:def 1;
A7: 4*c^2 = (2*2)*c^2
  .= 2^2*c^2 by SQUARE_1:def 3
  .= 2*b^2 by A6,4_3_1,SQUARE_1:68;
2*(2*c^2) = (2*2)*c^2 by AXIOMS:16
  .= 2*b^2 by A7;
then 2*c^2 = b^2 by REAL_1:9;
then b^2 is even by ABIAN:def 1;
then b is even by PYTHTRIP:2;
then 2 divides a & 2 divides b by A5,Def2;
then
A8: 2 divides a gcd b by INT_2:33;
  a gcd b = 1 by A3,INT_2:def 4;
  hence contradiction by A8,INT_2:17;
end;

Bukti Informal

Setelah mengetahui apa yang dimaksud dengan bukti formal, apakah anda sudah bisa menebak seperti apa bukti informal? Ya! Bukti informal adalah pembuktian dengan kata-kata sehari-hari seperti "Akan gue buktiin..." atau "Dengan semau gue..." atau "Nah lo bisa liat bahwa terjadi kontradiksi di sini dan di situ". #PLAK #PLAK #WADEZIG! Sori-sori becanda :3 Sebenarnya yang dimaksud dengan bukti informal adalah suatu bentuk pembuktian yang bertujuan untuk menyimpulkan pernyataan baru berdasarkan pernyataan yang sudah diketahui sebelumnya. Bedanya pada pembuktian informal lebih cenderung kepada penulisan bukti dalam bentuk paragraf dibanding hanya bentuk-bentuk logika. Pembuktian dengan bukti informal sangat sering digunakan pada umumnya bagi mereka yang berkecimpung di dunia matematika. Dari bukti informal, seorang ahli matematika/ahli komputer dapat mengkonstruksi bukti formal untuk dibuktikan kebenarannya menggunakan komputer, walaupun untuk mengkonstruksi bukti informal ke bukti formal pada prinsipnya membutuhkan waktu yang cukup lama melelahkan.

Berikut merupakan salah satu bukti informal mengenai pembuktian adalah bilangan irasional oleh G.H. Hardy dan E.M. Wright dalam buku yang berjudul An Introduction to the Theory of Numbers. 4th edition.

Teorema 43 (Teorema Phytagoras). adalah bilangan irasional.
Bentuk pembuktian ini adalah sebagai berikut. Jika adalah rasional, maka persamaan:

                                                            
                                                                            (4.3.1)

memiliki solusi dalam bilangan bulat a, b dengan (a, b) = 1. Karena genap, maka a juga bilangan genap. Jika a = 2c, maka , , dan b juga genap, kontradiksi dengan hipotesis bahwa (a, b) = 1.

Sumber: Nine Formal Proof Sketches oleh Freek Wiedijk, University of Nijmegen

Read More