Soal ini cukup populer muncul di soal ujian: Diketahui suatu bola dijatuhkan dari suatu ketinggian $h$ lalu ketinggian bola tersebut menjadi $\frac{a}{b}$ dari ketinggiannya semula. Maka panjang lintasan bola dari posisi awal sampai berhenti memantul.
Jika kita melihat beberapa buku mengenai soal yang sama, maka tanpa banyak penjelasan digunakanlah rumus berikut:
$$ S_{lintasan}=h(\frac{b+a}{b-a}) $$
Pernahkan anda bertanya darimana rumus itu berasal? Apakah rumus itu muncul begitu saja? Tentu saja tidak! Kita harus tahu bahwa dalam matematika, suatu formula diperoleh berdasarkan fakta-fakta atau asumsi-asumsi yang berdasar. Maka dari itu postingan blog berikut akan mencoba menurunkan rumus tersebut berdasarkan asumsi-asumsi atau fakta-fakta terkait masalah tersebut.
Pertama, perhatikan gambar berikut.
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa terdapat dua lintasan yang ditempuh oleh bola, yaitu lintasan ketika bola bergerak turun dan lintasan ketika bola bergerak naik. Lintasan turun dimulai dari ketika bola ketinggian awal, yaitu $h$ lalu karena ketinggian bola akan menjadi se-$\frac{a}{b}$ dari ketinggian awal maka lintasan turun berikutnya adalah $h (\frac{a}{b})$, selanjutnya menjadi $h (\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak turun dapat dihitung dengan:
$$ S_{turun} = h+h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+…$$
Karena diasumsikan bola akan terus memantul dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ terus menerus, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga $S_{turun}$ dapat dihitung dengan rumus:
$$S_{\infty}=\frac{U_{1}}{1-r}$$
dimana $U_{1}$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio $\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$. Akibatnya
$$S_{turun}=\frac{h}{1-\frac{a}{b}}=\frac{h}{\frac{b-a}{b}}=\frac{hb}{b-a}$$
Sekarang untuk lintasan bola naik, perhatikan bahwa karena bola memantul dengan dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ dari ketinggian semula, maka lintasan bola naik yang pertama adalah $h(\frac{a}{b})$, lalu selanjutnya menjadi $h(\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak naik dapat dihitung dengan:
$$S_{naik}=h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+h(\frac{a}{b})^3+…$$
Dengan asumsi yang sama dengan ketika bola bergerak turun, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga
$$S_{naik}=\frac{h(\frac{a}{b})}{1-\frac{a}{b}}=\frac{\frac{ha}{b}}{\frac{b-a}{b}}=\frac{ha}{b-a}$$
Jadi, panjang keseluruhan lintasan bola dapat dirangkum menjadi
$$L_{lintasan}=L_{naik}+L_{turun}$$
$$=\frac{ha}{b-a}+\frac{hb}{b-a}=\frac{ha+hb}{b-a}=\frac{h(a+b)}{b-a}$$
$$=h(\frac{b+a}{b-a})$$
Jika kita melihat beberapa buku mengenai soal yang sama, maka tanpa banyak penjelasan digunakanlah rumus berikut:
$$ S_{lintasan}=h(\frac{b+a}{b-a}) $$
Pernahkan anda bertanya darimana rumus itu berasal? Apakah rumus itu muncul begitu saja? Tentu saja tidak! Kita harus tahu bahwa dalam matematika, suatu formula diperoleh berdasarkan fakta-fakta atau asumsi-asumsi yang berdasar. Maka dari itu postingan blog berikut akan mencoba menurunkan rumus tersebut berdasarkan asumsi-asumsi atau fakta-fakta terkait masalah tersebut.
Pertama, perhatikan gambar berikut.
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa terdapat dua lintasan yang ditempuh oleh bola, yaitu lintasan ketika bola bergerak turun dan lintasan ketika bola bergerak naik. Lintasan turun dimulai dari ketika bola ketinggian awal, yaitu $h$ lalu karena ketinggian bola akan menjadi se-$\frac{a}{b}$ dari ketinggian awal maka lintasan turun berikutnya adalah $h (\frac{a}{b})$, selanjutnya menjadi $h (\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak turun dapat dihitung dengan:
$$ S_{turun} = h+h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+…$$
Karena diasumsikan bola akan terus memantul dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ terus menerus, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga $S_{turun}$ dapat dihitung dengan rumus:
$$S_{\infty}=\frac{U_{1}}{1-r}$$
dimana $U_{1}$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio $\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$. Akibatnya
$$S_{turun}=\frac{h}{1-\frac{a}{b}}=\frac{h}{\frac{b-a}{b}}=\frac{hb}{b-a}$$
Sekarang untuk lintasan bola naik, perhatikan bahwa karena bola memantul dengan dengan ketinggian $\frac{a}{b}$ dari ketinggian semula, maka lintasan bola naik yang pertama adalah $h(\frac{a}{b})$, lalu selanjutnya menjadi $h(\frac{a}{b})^2$ dan begitu seterusnya sehingga panjang lintasan bola ketika bola bergerak naik dapat dihitung dengan:
$$S_{naik}=h(\frac{a}{b})+h(\frac{a}{b})^2+h(\frac{a}{b})^3+…$$
Dengan asumsi yang sama dengan ketika bola bergerak turun, maka deret diatas akan membentuk deret geometri tak hingga, sehingga
$$S_{naik}=\frac{h(\frac{a}{b})}{1-\frac{a}{b}}=\frac{\frac{ha}{b}}{\frac{b-a}{b}}=\frac{ha}{b-a}$$
Jadi, panjang keseluruhan lintasan bola dapat dirangkum menjadi
$$L_{lintasan}=L_{naik}+L_{turun}$$
$$=\frac{ha}{b-a}+\frac{hb}{b-a}=\frac{ha+hb}{b-a}=\frac{h(a+b)}{b-a}$$
$$=h(\frac{b+a}{b-a})$$
