Belakangan ini saya sering berlatih menurunkan rumus-rumus yang dulunya pernah saya pelajari semasa SMP dan SMA. Selain karena untuk mempertajam ingatan saya dan intuisi saya dalam mengerjakan soal-soal matematika, juga sebagai repository pribadi, jika misalnya ada yang menanyakan “Ini kok rumusnya bisa kayak begini?” atau “Darimana asalnya rumus ini?” saya bisa menjawabnya dengan penuh rasa bangga :v Maka dari itu saya membuat konten khusus yang (semoga saja) membuat saya lebih rajin posting di blog ini. Oh ya semenjak Open Live Writer saya sudah mulai terintegrasi dengan blog saya, sepertinya ini sudah saatnya saya mulai menulis lagi.
Oke kita mulai ^_^!
Siapa yang tidak tahu rumus ABC? Bagi mereka yang belajar di SMP dan SMA pasti akan bertemu dengan rumus ini, terutama ketika belajar tentang persamaan kuadrat. Banyak hal yang membuat rumus ini sangat terkenal, pertama karena rumus ini sangat annoying abis, ribet dan terkesan susah dihapal, kedua karena dibalik kerumitannya ternyata rumus ini sangat efektif dibandingkan dengan metode-metode pemfaktoran yang biasanya dipakai untuk menyelesaikan soal persamaan kuadrat.
Rumus ABC disebut sebagai rumus ABC karena biasanya rumus ini ditulis dengan 3 huruf a,b dan c:
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac} }{2a} $$
Bagaimana rumus diatas bisa terbentuk? Apakah dengan mantra mumbo jumbo atau sejenisnya?
Sebenarnya untuk menurunkan rumus ABC diatas cukup dengan cara melengkapkan kuadrat:
$$ x^2+bx+(\frac{1}{2}\times b)^2 = (x+\frac{1}{2}\times b)^2 $$
dan fakta bahwa
$$ x^2=p \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{p} $$
dengan $$x_{1} = +\sqrt{p}$$ dan $$x_{2} = –\sqrt{p} $$
Dengan teknik diatas, akan kita cari rumus ABC.
Pertama, misalkan $ ax^2 +bx+c=0 $ adalah persamaan kuadrat yang akan dicari akar-akarnya. Maka
$$ ax^2 +bx=-c$$
$$ \frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}=\frac{-c}{a} $$
$$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Sekarang, dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh:
$$x^2 +\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a} +(\frac{1}{2} \times \frac{b}{a})^2$$
$$(x+\frac{1}{2}\times \frac{b}{a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$$
$$ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}$$
$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{-4a^2 c+b^2 a}{4a^3}} $$
$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{a(-4a c+b^2 )}{4a^3}} $$
$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{1}{2a}\sqrt{-4a c+b^2} $$
atau
$$ x= \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$
sehingga diperoleh
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$
dengan
$$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$
dan
$$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$
Demikian tulisan saya mengenai Rumus ABC, semoga bermanfaat ^_^
